Действия над числами

Числа. Чтение, сравнение

1. Цифры – это знаки, при помощи которых записываются числа. Существует всего 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. Числа, которые применяются при счёте, называются натуральными. Ряд натуральных чисел можно продолжать бесконечно. Не существует наибольшего натурального числа.

3. Число 0 (нуль) не является натуральным числом.

4. Наименьшее натуральное число – 1 (единица).

5. Нуль и все натуральные числа, называются целыми неотрицательными числами.

6. Числа бывают однозначные (1,2,3,4,5,6,7,8,9), двузначные (10,11,12,… … 97,98,99), многозначные 9трёх -, четырёх -, пяти -, шести и так далее).

7. При записи чисел значение цифры зависит от её места. Она может обозначать единицы, десятки, сотни и т.д. Это десятичная система счисления.

8. Для чтения многозначных чисел их делят, начиная справа по 3 цифры. Эти тройки цифр называются классами.

 

3 класс - миллионов			2 класс - тысяч			1 класс единиц
сотни мил-лионов	десят-ки мил-лионов	едини-цы мил-лионов	сотни тысяч	десят-ки тысяч	едини-цы тысяч	сотни	десят-ки	едини-цы
9 разряд	8 разряд	7 разряд	6 разряд	5 разряд	4 разряд	3 разряд	2 разряд	1 разряд

9. Если в числе отсутствует какой-то разряд, то его запись заменяют 0, если отсутствует какой-то класс, то заменяют тремя нулями.

10. Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых выглядит так: 236591 = 200000+30000+6000+500+90+1

11. Если к названию числа добавляют слово «десяток», то для записи числа надо добавить один ноль. 5 дес. – 50. Если к названию числа добавляют слово «сотня», то для записи числа надо добавить два ноля. 5 сот. – 500. Тысяча – три ноля, десятки тысяч – четыре ноля и т.д.

12. Сравнение многозначных чисел

a. можно проводить по занимаемому месту в натуральном ряду. Например, в ряду чисел 456, 457, 458, 459, 460, 461меньше то, которое стоит левее, больше то, которое стоит правее.

b. по соответствующим разрядам. Больше число, в котором больше разрядных единиц. (23456 больше 6789). Если количество разрядов равно, то сравнивают, начиная с высших разрядов.

c. Чтобы определить полное количество десятков в числе, надо зачеркнуть последний знак (единицы).

d. В числе 6758 – 675 десятков.

Чтобы определить количество сотен, надо зачеркнуть два знака  6758 – 67 сотен

 

13. Помимо десятичной системы счисления существуют другие системы, у которых каждый знак характеризует только одно число. Примером может служить римская система счисления. В ней при записи числа применяются буквы латинского алфавита.
Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Примеры записи римских цифр.

1- I

2 – II

3 – III

4 – IV

5 – V

6 – VI

7 – VII

8 – VIII

9 – IX

10 – X

11 – XI

12 – XII

13 – XIII

14 – XIV

15 – XV

16 – XVII

17 – XVII

18 – XVIII

19 – XIX

20 – XX

21 – XXI

 

 

30 – XXX

40 – XL

50 – L

60 – LX

70 – LXX

80 – LXXX

90 – XC

99 - XCIX

100 – C

102 – CII

400 – CD

500 – D

800 - DCCC

900 – CM

Арифметические действия и их свойства.

Сложение

3+5=8

Знак +(плюс), действие- сложение, 3 – первое слагаемое,

5- второе слагаемое, 3+5 - сумма, 8 - значение суммы.

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Вычитание

9-4=5

Знак-(минус), действие - вычитание, 9 - уменьшаемое,

4 - вычитаемое, 9 – 4 - разность, 5- значение разности.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Умножение.

3•5=15

Знак •или х (умножить), действие- умножение, 3 – первый множитель,5- второй множитель, 3•5 - произведение, 15 - значение произведения.

Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.

Деление.

20:4 = 5

Знак (:) - разделить, действие деление.

20 – делимое, 4 – делитель, 20:4 это частное, 20 – значение частного

Если делимое разделить на частное, то получится делитель.

Если частное умножить на делитель, то получится делимое.

 

1. Сложение, вычитание, умножение и деление – это арифметические действия. Им соответствуют знаки «+», «-», «▪», «:».

2. Сложение и вычитание – взаимообратные действия, поэтому сложение проверятся вычитанием, а вычитание проверяется сложением.

3. Умножение и деление – взаимообратные действия, поэтому умножение проверяется делением, а деление умножением.

4. Сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением. 8+8+8+8+8+8+8 = 8▪7

5. Умножение одинаковых множителей можно заменить степенью (Квадрат – 2 и куб – 3) 9▪9 = 9^2, 5▪5▪5 = 5³

6. Чтобы посчитать чему равен квадрат или куб числа, надо записать его в виде умножения одинаковых множителей.
7² = 7▪7 6³ = 6▪6▪6

 

Свойства и законы арифметических действий.

1. Переместительный закон сложения. От перестановки слагаемых, значение суммы не меняется. a + b = b + a

2. Переместительный закон умножения. От перестановки множителей, значение произведения не меняется a ▪ b = b ▪ a

3. Сочетательный закон сложения. Для того, чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить значение суммы второго и третьего числа. или Два соседних слагаемых можно заменить их суммой.
(a + b) + c = a + (b + c) = b + (a + c)

4. Сочетательный закон умножения Для того, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на значение произведения первого и третьего числа или Два соседних множителя можно заменить их произведением. (a ▪ b) ▪ c = a ▪ (b ▪ c) = b ▪ (a ▪ c)

5. Распределительный закон умножения, относительно сложения. Для того, чтобы умножить сумму на число, надо это число умножить на каждое слагаемое, а произведения сложить. (a + b) ▪ c = a ▪ c + b ▪ c

6. Распределительный закон умножения относительно вычитания. Для того, чтобы умножить разность на число, надо это число умножить на каждое число в скобках и из первого произведения вычесть второе. ( a - b) ▪ c = a ▪ c - b ▪ c

7. Вынос числа за скобки. Используя распределительное свойство умножения, можно вынести общий множитель за скобки. a ▪ c + b ▪ c = c ▪ (a + b) или. a ▪ c - b ▪ c = c ▪ (a - b)

 

Свойства арифметических действий.

Свойства 0 (нуля)

1. Если числу прибавить или из числа вычесть ноль, то получится тоже самое число.

2. Если вычесть число из такого же числа, то получится 0

3. Если любое число умножить на 0, то получится 0

4. Если 0 разделить на любое число, то получится 0

5. Делить на 0 – нельзя!

Свойства 1 (единицы)

1. Прибавить к числу единицу – значит назвать следующее число (последующее)

2. Вычесть из числа единицу – значит назвать предыдущее число.

3. Если число умножить или разделить на единицу, то получится то же самое число.

4. Если число разделить на само себя, то получится единица.

 

Действия над числами.

1. При сложении и вычитании многозначных чисел, а так же при записи столбиком, необходимо единицы писать под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д. и складывать или вычитать единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т.д.

2. Все вычисления начинаются с единиц.

3. Если при сложении какого-либо разряда получается двузначное число, то в результат записывают единицы этого числа, а десятки переходят в следующий разряд.

4. Если при вычитании недостаточно единиц какого-либо разряда, то занимаем в большем разряде.

5. Если многозначные числа оканчиваются нулями, то при записи столбиком примеров на умножение, нули не учитываются. После выполнения вычислений их все дописывают в конце результата.

6. Если при делении делимое меньше делителя, то частное равно 0, а делитель переходит в остаток.

7. При делении с остатком остаток должен быть меньше делителя.

 

Выражения.

Выражения бывают числовые и буквенные.

1. Числовые выражения записываются с помощью чисел, знаков действий и скобок. Чтобы найти значение выражения, достаточно выполнить указанные действия.

2. Буквенные выражения записываются с помощью букв, чисел, знаков действий и скобок. Для того, чтобы найти значение буквенного выражения, необходимо подставить в выражение числовое значение буквы, а затем выполнить необходимые действия.

3. Для правильного чтения выражения определяют действие, которое должно быть выполнено последним. В выражении 45 + 56: 8, последним выполняют сложение. Поэтому читают так: «Сумма числа 45 и частного 56 и 8»

4. При вычислении буквенного выражения, если это возможно, сначала упрощают выражение, применяя переместительные, сочетательные и распределительный законы.