Приведем другое решение

Тот, кто идет быстрее, дойдет до опушки за 4,4: 3 = 22/15 часа. За это время тот, кто идет медленнее, пройдет 2,5 · 22/15 = 11/3 км и окажется на расстоянии 4,4 − 11/3 = 11/15 км от опушки. Далее они пойдут на встречу друг другу со скоростью сближения 5,5 км/час и преодолеют разделяющее их расстояние за (11/15): 5,5 = 2/15 часа. За это время медленно идущий пешеход пройдет еще 2,5 · 2/15 = 1/3 км и окажется на расстоянии 11/3 + 1/3 = 4 км от точки отправления.

Приведем ещё одно решение.

Условие задачи равносильно тому, что два человека, каждый из которых находится на расстоянии 4,4 км от опушки, идут навстречу друг другу. Скорость их сближения равна 5,5 км/час. Встреча произойдёт через 8,8: 5,5 = 1,6 часа на расстоянии 2,5 · 1,6 = 4 км от дома.

12. Найдите наименьшее значение функции

Решение.

Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке в нашем случае — в точке 1. Значение функции в этой точке равно

Ответ: 49.

13. Решите уравнение

Решение.

Найдем ОДЗ:

Найдем корни числителя:

Отметим корни на тригонометрической окружности:

С учетом ОДЗ (см. рис.) получаем:

Ответ:

14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В ₁ и С ₁, причем ВВ ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС ₁ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС ₁ прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ ₁ и АС ₁, если АВ = 6, ВВ ₁ = 15, В ₁ С ₁ = 8.

Решение.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС ₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС ₁ — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС ₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС ₁ (BС и СС ₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС ₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС ₁. Значит, угол АВС ₁ прямой.