Приведем решение п. б), предложенное Олегом Цимбалистом

 

Пусть Тогда как внешний угол треугольника BLD. По теореме синусов для треугольника BHL, имеем

Заметим теперь, что а По теореме синусов для треугольника AHL, имеем

Значит,

 

Приведем ещё одно решение.

а) Обозначим , тогда , , , поэтому значит, треугольник LCD — равнобедренный.

б) Пусть H — точка пересечения DL с AB. Тогда

поэтому по двум углам. Отсюда

Поскольку , то Пусть BC = x, AB = 3 x. По теореме о биссектрисе откуда находим , Тогда

значит, , откуда

 

17. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме t ² Гбайт входящей в него информации выходит 20 t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t ² Гбайт входящей в него информации выходит 21 t Гбайт обработанной информации, 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

Решение.

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Требуется найти максимум суммы при условии

Так как то для некоторого угла Так как то

для некоторого вспомогательного угла с Следовательно, наибольшее значение суммы Оно достигается при то есть для значений, удовлетворяющих условиям

 

Приведём другое решение.

 

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации. Выразим через Требуется найти наибольшее значение функции

Нетрудно заметить, что — точка максимума функции, при этом Условия выполнены. Значит,

 

Приведём третий вариант решения.

 

Пусть на сервере №1 обрабатывается а на сервере №2 обрабатывается Гбайт из всей первичной информации. Тогда а обработано будет Гбайт информации.

Так как то уравнение задает окружность радиуса с центром в начале координат. Заметим, что уравнение задает семейство параллельных прямых. Мы ищем наибольшее значение такое, что прямая имеет общие точки с окружностью. Из всех прямых семейства пересекающих окружность, наибольшее значение будет достигаться в случае касания.

Проведем из начала координат в первый координатный квадрант вектор перпендикулярный прямым Луч, коллинеарный вектору пересечёт окружность в точке Это и будет точка касания в которой достигается наибольшее значение Условия для точки выполнены. Значит,

 

Ответ: 1682.

18. Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции меньше 2.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна на множестве действительных чисел и точки разбивают действительную ось на промежутки, в каждом из которых графиком данной функции является часть некоторой параболы. Заметим, что при значения данной функции неограниченно возрастают. Следовательно, свое наименьшее значение данная функция принимает в одной из точек (или в нескольких этих точках) где — абсциссы вершин тех парабол, ветви которых направлены вверх.

Эти параболы и или и Абсциссы их вершин соответственно

Таким образом, наименьшее значение функции меньше 2 тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из неравенств:

Так как получаем совокупность неравенств:

Учитывая, что получаем

Аналогично

Таким образом, окончательно получаем

 

Ответ:

19. Участники одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 73 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 80, средний балл участников, сдавших тест, составил 90, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 65. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, а не сдавших — 69. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Пусть было 3 участника, которые набрали 90, 72 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест балла. После добавления баллов у участников оказалось 95, 77 и 7 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 7 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников теста, сдавших тест, первоначально составлял 90 баллов, а после добавления баллов составил баллов.

в) Пусть всего было N участников теста, сдали тест a участников, после добавления баллов сдали тест b участников. Заметим, что средний балл после добавления составил 85. Имеем два уравнения: 80 N = 65(N − a) + 90 a и 85 N = 69(N − b) + 93 b, откуда 15 N = 25 a, то есть 3 N = 5 a, и 16 N = 24 b, то есть 2 N = 3 b. Поэтому целое число N делится на 5 и на 3, то есть делится на 15. Таким образом, N ≥ 15.

Покажем, что N могло равняться 15. Пусть изначально 5 участников набрали по 64 балла, 1 участник — 70 баллов и 9 участников по 90 баллов. Тогда средний балл был равен 80, средний балл участников, сдавших тест, был равен 90, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 65. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 93, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 69. Таким образом, все условия выполнены.

 

Ответ: а) да; б) да; в) 15.