2020-06-29
107
1. Определение: Суммой двух событий 
называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий, если события несовместны, то событие состоит в наступлении только одного из этих событий.
2. Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Схема урн: В урне 
шаров, из них 
- красные шары, 
- синие шары. Из урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что он цветной.
Событие 
- вынули красный шар, событие 
- вынули синий шар. Событие состоит в том, что вынули цветной шар.
3. Определение: Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.
4. Определение Произведением событий 
называется событие, состоящее в одновременном наступлении этих событий. (Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло второе или нет.)
5. Теорема Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
|
|
|
Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности.
Решение.
Испытание - Производится два выстрела по мишени.
Событие А - оба раза промахнулся.
Событие В - попал один раз.
Событие С - оба раза попал.
.
Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1= 0,8; p2 =0,7; p3 =0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события 
(попадание первого орудия), 
(попадание второго орудия) и 
(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям 
(т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
Искомая вероятность 
Задача 3. Вероятности поражения цели у каждого из трёх стрелков соответственно равны 0,7; 0,85; 0,8. Найти вероятность того, что:
· а) попадут все стрелки;
· б) попадёт только один стрелок;
· в) попадут не менее двух стрелков.
Решение
Обозначим события:
А( = (i-й стрелок попадёт в цель), / = 1,2,3;
Af - соответственно, противоположные им события.
По условию задачи известны вероятности
По свойству вероятностей противоположных событий находим вероятности 
а) Пусть событие В = (попадут все стрелки). Это событие заключается в совместном наступлении событий Аг, А2, и А3. Следовательно, оно является их произведением В = Ах • А2 • А3. По теореме умножения вероятностей независимых событий получаем:
|
|
|
б) Пусть событие D= (попадёт только один стрелок). Это событие является суммой произведений независимых событий:
Используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, имеем:
в) Пусть событие С = (попадут не менее двух стрелков, т. е. 2 или 3). Это событие является суммой произведений независимых событий:
Используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, имеем:
Ответ: а) 0,476; б) 0,108; в) 0,883.
Контрольное задание
1. Вычислить: 
2. Вычислить 
3. Сократить дробь 
4. Даны пять цифр: 0; 1; 2; 3;4. Сколько всевозможных пятизначных чисел можно составить?
5. Задача: в группе 25 студентов. Сколькими способами можно назначить трёх дежурных?
6. Задача: в группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать: старосту, физорга и зам. старосты?
7. Задача: В урне находится 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным; 3) зеленым.
8. Из трех орудий произведен залп по цели, вероятности попадания соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9. Найти вероятность того, что будет только два попадания в цель. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
9. В колоде карт 36 листов. Наудачу выбирают одну карту. Найти вероятность того, что вынули:
1) короля пик;
2) короля любой масти;
3) десятку червей или даму любой масти;
