Тема 13.6. Решение дробно-рациональных уравнений

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

 

Тема 13.5. Решение систем неравенств

Решение совокупностей и систем неравенств практически не отличается от решения единичных неравенств с одной переменной. Но при решении следует помнить, что в ответ системы вписывается пересечение результатов решения неравенств, а в ответ совокупности – все полученные результаты.

При решении системы или совокупности неравенств допускается решать каждое неравенство в отдельности. После того, как будет решено каждое неравенство, записывается общий ответ системы или совокупности.

Задача 1. Решить совокупность неравенств:

Ответ: {-3}υ[-2; 2].

Тема 13.6. Решение дробно-рациональных уравнений

Уравнение которые можно свести к дроби: f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.

Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача, если Вы знаете методику, а она достаточно проста.

Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю:

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Задача 1. Найти корни уравнения:

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю:

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета:

Второе раскладываем на множители:

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x =-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х =-7.

Задача 2. Решить уравнение:

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение:

Вычисляем дискриминант:

и корни уравнения:

Получили три нуля числителя:

.
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета:

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения: будут решениями.

Ответ: х ₁=8; х ₁=-7; х ₁=3.

Задача 3. Найти корни уравнения:

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства:

и сводим к общему знаменателю:

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению:

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

Корни первого вычисляем через дискриминант:

Нули второго находим без проблем:

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х =3.

Задача 4. Пусть дано такое рациональное уравнение:

Решение: Сначала надо преобразовать левую часть уравнения, представляющую собой рациональное дробное выражение, к одной дроби. Для этого требуется найти общий знаменатель. Выражение x ² – 4 можно разложить на множители (x – 2) (x + 2). Это и будет общим знаменателем, т.к. у первой дроби выражения знаменатель (x – 2), а у третьего члена (числа –2) его вообще нет. При преобразовании дополнительным множителем к числителю первой дроби будет (x + 2), ко второй – число 1 (или отсутствие множителя), к третьей — весь знаменатель (x – 2) (x + 2). Выполним описанные действия:

Дробь может равняться нулю, если ее числитель равен нулю. Поэтому чтобы решить это дробное рациональное уравнение достаточно решить уравнение по отношению к числителю:

4 x + 16 = 0;

x = –16 ÷ 4;

x = –4.

Если бы уравнение было квадратным, то корней могло бы быть два.

После того, как корень для числителя найден, следует проверить не обращает ли он в нуль знаменатель. Если это происходит, то найденный корень числителя не может быть корнем всего рационального уравнения. Проверяем знаменатель:

(x – 2)(x + 2) = (–4 – 2)(–4 + 2) = –6 × (–2) = 12.

При x = –4 знаменатель в нуль не обращается. Значит, корнем исходного рационального уравнения является число –4.

Ответ: х =-4.

Бывает, что рациональное выражение составляется при решении задачи. После того как корни найдены, недостаточно проверить только знаменатель на необращение его в нуль при данных корнях. Еще необходимо сопоставить корни с тем, что ищется по условию задачи. Например, если находятся количество предметов, то корень не может быть отрицательным числом.

 

Более подробно можно посмотреть: Богомолов, Н.В.Математика: учебник для СПО / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во Юрайт, 2019. — 401 с. — (Серия: Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://www.biblio-online.ru/bcode/433286.