Урок. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Нахождение наибольшего и наименьшего значения на отрезке

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции чаще всего используется график функции. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика, используя рассуждения. В более сложных случаях используется производная. Для этого сформулируем некоторые теоремы.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b]:

1. найти производную f′(x).

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b].

3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет yнаим) и наибольшее (это будет yнаиб).

А как быть, если речь идёт о нахождении наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например, на интервале? Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:

а) если x=x₀ — точка максимума, то yнаиб=f(xo);

б) если x=x₀ — точка минимума, то yнаим=f(xo).

На рисунках приведены соответствующие геометрические иллюстрации.

Прочитайте внимательно §32. П.1 запишите себе алгоритм и изучите примеры 1 и 2

Домашнее задание §32. П.1 № 32.8 (а), 32.11 (а), 32.12 (а)

Ходят слухи, что учебный год закончится 29.05. Поэтому …. Далее идет материал урока на 29.05. Если интересно прочтите. Если в июне будем учиться, то изучим подробно. На следующем уроке контрольная работа

***

урок. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

Теория:

Российский математик XIX века П. Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»).

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме из трёх этапов математического моделирования:

1. составление математической модели;

2. работа с моделью;

3. ответ на вопрос задачи.

Далее рекомендации методического плана.

Первый этап. Составление математической модели.

1. Проанализировав условия задачи, выделяем оптимизируемую величину (сокращённо: О. В.), т. е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идёт речь. Обозначаем её буквой y (или S, V, R, t — в зависимости от фабулы).

2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., принимаем за независимую переменную (сокращённо: Н. П.) и обозначаем её буквой x (или какой-либо иной буквой). Устанавливаем реальные границы изменения Н. П. (в соответствии с условиями задачи), т. е. область определения для искомой О. В.

3. Исходя из условий задачи выражаем y через x. Математическая модель задачи представляет собой функцию y=f(x) с областью определения X, которую нашли на втором шаге.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции y=f(x), x∈X, находим yнаим или yнаиб, в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые были даны в первом пункте данного параграфа.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Пример:

прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1. Оптимизируемая величина (О. В.) — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей. Обозначим О. В. буквой y.

2. Прочность зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки. Объявим независимой переменной (Н. П.) ширину балки, обозначим её буквой x. Поскольку осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса R (см. рис.), то 0 < x < 2R — таковы реальные границы изменения независимой переменной.

3. Высота h прямоугольника связана с его шириной соотношением x2+h2=4R2 (по теореме Пифагора ). Значит, h2=4R2−x2.

Прочность балки y пропорциональна произведению xh2, т. е. y=kxh2 (где коэффициент k — некоторое положительное число).
Значит,
y=kx(4R2−x2),x∈0;2R.

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.
На этом этапе для функции y=kx(4R2−x2),x∈0;2R, надо найти yнаиб.

Имеем:

y=4kxR2−kx3;y′=4kR2−3kx2.

Критических точек нет. Найдём стационарные точки. Приравняв производную к нулю, получим:

4kR2−3kx2=0;x1=2R3;x2=−2R3.

Заданному интервалу (0; 2R) принадлежит лишь точка x1, и причём x1=2R3 — точка максимума функции. Значит, по теореме из пункта 1

yнаиб=f(x1)=f2R3=16kR333.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей прочности. Мы выяснили, что ширина x прямоугольника, служащего осевым сечением наиболее прочной балки, равна 2R3. Найдём высоту:

h2=4R2−4R23=8R23;h=2R23⇒hx=2.

Ответ: сечением балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно 2.

Замечание. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указанное отношение равным 1,4 (2≈1.4).