Алгоритм нахождения экстремумов функции

Теоретический материал.

-Вспомним некоторые свойства функции:

· Что называется областью определения функции?

· Что называется множеством значения функции?

· Какая функция называется возрастающей?

· Какая функция называется убывающей?

· Что такое точки экстремума (экстремумы функции)?

· По графику функции определите основные свойства функции:

 

-

Д(у);

-Е(у);

-промежутки возрастания;

-промежутки убывания;

-промежутки знакопостоянства;

- точки экстремума;

-экстремумы функции.

 

Определение точки минимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х₀, то точка Х₀ называется точкой минимумафункции f(х), если существует такая окрестность точки Х₀,что для всех х=х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(х)>f(х₀).

Определение точки максимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х₀, то точка Х₀ называется точкой максимумафункции f(х),если существует такая окрестность точки Х₀, что для всех х=х₀ из этой окрестности выполняется неравенство f(х)<f(х₀).

2) Определение критических точек.

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.

3) Необходимое условие, чтобы Х₀ была точкойэкстремума: эта точка должна быть критической.

Алгоритм нахождения критических точек.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти область определения производной данной функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых производная не существует. Если такие точки есть, то проверить являются ли они внутренними точками области определения функции.

4. Найти точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение: f '(х)=0.

Проверить являются ли найденные точки внутренними точками области определения функции.

5) Стационарные точки - точки, в которых производная функции равна нулю.

6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции.)

у=f(х)-функция, которая определена в некоторой окрестности точки Х₀, и имеет производную в этой точке.

Теорема: если Х₀-точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f '(х)=0.

Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х₀-критическая точка.

Если функция f непрерывна в точке Х₀, а f '(х)>0 на интервале (а;х₀) и f '(х)<0 на интервале (х₀;в), то точка х₀ является точкой максимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х₀ производная меняет знак с “+” на “ ^_”, то Х₀ есть точка максимума.)

Если функция f непрерывна в точке Х₀, а f '(х)<0 на интервале (а;X₀) и f '(х)>0 на интервале (X₀;в), то точка х₀ является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х₀ производная меняет знак с “^_” на “+”, то Х₀ есть точка минимума.)

8) Достаточный признак возрастания,убыванияфункции.

Если f '(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f '(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

Точки экстремума, экстремум функции.

Х₀ - точка максимума, Х₀ –точка минимума называются точками экстремума.

f(х₀) - максимум функции,

f(х₀) - минимум функции называются экстремумами функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определим знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найдем точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найдем экстремумы функций.

11) Алгоритм нахождения наибольшего инаименьшего значений функции на отрезке.

1. Найти значения функции на концах отрезка [а; в].

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; в).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.