Двоичное кодирование переменных и функций трехзначной логики

Представление k-значных функций в виде нормальных форм

Теорема 2. Любая функция k - значной логики может быть представлена в виде СДНФ:

f(x₁,..., x_n) = v j_s1(x₁) & j_s2(x₂) &... j_sn(x_n) & f (s₁, s₂,..., s_n)

или в виде s-p формы:

f(x₁,..., x_n) = Å Ys₁ (x₁) & Ys₂ (x₂)... & Ys_n (x_n) Ä f (s₁,...,s_n).

Пример. Для функции, заданной таблицей истинности

x1	x2	f
	0дд 0

составить СДНФ и s-p форму.

Решение. Заметим, что значения x_i в таблице соответствуют индексам s_i при функциях j_i и Y_i. И в соответствии с выше обозначенными формулами можно записать:

f(x₁, x ₂) = j₀(x₁) & j₁(x₂) & 1 v j₀(x₁) & j₂(x₂) & 2

v j₂(x₁) & j₁(x₂) & 1.

f(x₁, x ₂) = Y₀(x₁) & Y₁(x₂) Ä 1 Å Y₀(x₁) & Y₂(x₂) Ä 2

Å Y₂(x₁) & Y₁(x₂) Ä 1.

Закодируем аргументы следующим образом:

x	n1	n2

Откуда следует, что для записи и передачи любого троичного переменного необходимо использовать две двоичные переменные v₁, v₂. При этом функции Y _i(x) будут кодироваться следующим образом: Y_i’, Y_i’’ по 2-м выходам соответственно.

x	n1	n2	Y0’	Y0’’	Y1’	Y1’’	Y2’	Y2’’
			0	1
					0	1
							0	1
*			*	*	*	*	*	*

Удобно доопределить Y _i’ на наборе <1,1> нулями, тогда получим

Y0’ = Y1’ = Y2’ = 0; Y0’’ = Øn₁ & Øn2; Y1’’ = Øn₁ & n2; Y2’’ = n₁ & Øn2.

Один из способов моделирования трехзначной логики заключается в создании функциональных элементов с тремя устойчивыми состояниями, то есть с квантованием сигнала по трем уровням, при этом принята следующая система аналогий:

· положительный потенциал - 0;

· нулевой потенциал - 1;

· отрицательный потенциал - 2.

Практически, в полупроводниковых схемах для трехзначной функции справедливо:

· положительным потенциалом считается потенциал >= 1.5В.

· нулевым потенциалом считается потенциал по модулю <= 0.6В.

· отрицательным - потенциал <=- 1.5 В.

Пример. Построить таблицу истинности для функций

X₁ Å X₂, X₁ Ä X₂.

Закодировать в двоичной системе координат, представить СДНФ, минимизировать и построить для одной из выбранных функций комбинационную схему в базисе (&,V, Ø).

Решение.

X1	X2	X1Å X2	X1 Ä X2
V1	V2	V3	V4	f1	f2	f3	f4
				*	*	*	*
				*	*	*	*
				*	*	*	*
				*	*	*	*
				*	*	*	*
				*	*	*	*
				*	*	*	*

Таким образом, функцию f(x1,x2) можно представить следующим образом:

f(x1,x2) = < f1 (v1,v2,v3,v4), f2 (v1,v2,v3,v4) >.

f1 = Øv1 Øv2 v3 Øv4 v Øv1 v2 Øv3 v4 v v1 Øv2 Øv3 Øv4,

f2 = Øv1 Øv2 Øv3 v4 v Øv1 v2 Øv3 Øv4 v v1 Øv2 v3 Øv4.

Как следует из кодировки функции, логическая схема ее реализующая должна иметь два выхода и четыре входа. Прежде чем приступить к построению схемы необходимо выполнить минимизацию сформированных функций f₁, f₂. Выполним действия относительно одной из функций, например, f₁. Составим карту Карно.

Øv₁ Øv₁ v₁ v₁

V2			*	*	Øv4
V2		*	*	*	v4
Øv2		*	*		v4
Øv2					Øv4

Øv₃ v₃ v₃ Øv₃

Для того чтобы минимизировать слабо определенную функцию в карте Карно проставляют специальный знак, например, * в местах характерных наборам, на которых функция не определена, затем * меняют на 1 в тех клетках, прямоугольники составленные из которых уменьшили бы число конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний. Сказанное позволяет записать:

f1 = v2 & v4 v v3 & Øv1 & Øv2 v Øv3 & Øv4 & v1.

Аналогично составляются функции f2, f3, f4. Схемная реализация функции f1 примет вид:

v1

v2

v3

v4

& & & &

&

& &

1