Индексы динамики средних показателей

Тема 11. ИНДЕКСЫ (окончание)

План:

4. Индексы с постоянными и переменными весами.

5. Средние индексы.

6. Индексы динамики средних показателей.

 

Индексы с постоянными и переменными весами

При изучении динамики экономической деятельности приходится производить индексные сопоставления более чем за два периода.

При этом индексные величины могут определяться как на постоянной, так и на переменной базах сравнения. Если задача анализа состоит в получении характеристик изменения изучаемого явления во всех последующих периодах по сравнению с начальным, то вычисляются базисные индексы. Например, сопоставление объёма розничного товарооборота II, III и IV кварталов с I кварталом.

Но если требуется охарактеризовать последовательно изменения изучаемого явления из периода в период, то вычисляются цепные индексы. Например, при изучении объёма розничного товарооборота по кварталам года сопоставляют товарооборот II квартала c I, III – cо II и IV – с III кварталом.

В зависимости от задачи исследования и характера исходной информации базисные и цепные индексы исчисляются как индивидуальные, так и общие.

Способы расчёта индивидуальных базисных и цепных индексов аналогичны расчёту относительных величин динамики.

Общие индексы в зависимости от их вида вычисляются с переменными и постоянными весами – соизмерителями.

Используя индексный ряд за несколько периодов, можно получить динамику стоимости продукции и динамику товарооборота в неизменных ценах, т. е. в ценах какого-то одного прошлого периода. Такие индексные ряды называются индексами с постоянными весами. Постоянные веса позволяют исключить влияние изменения структуры на величину индекса. Примерами таким индексов являются индивидуальные индексы, агрегатные индексы физического объёма продукции и индексы цен, рассчитываемые по формуле Ласпейреса, а также агрегатные индексы стоимости.

Для них действуют следующие правила:

1) произведение промежуточных по периодам (кварталам) цепных индексов даёт базисный индекс за весь период (год);

2) отношение последующего базисного индекса к базисному индексу предшествующего периода даёт цепной индекс отчётного периода.

Преимущество сводных индексов с постоянными весами состоит в том, что их можно сравнивать между собой, а также получать цепные индексы из базисных, и наоборот.

Для индексов с переменными весами такое правило не сохраняется. В них веса последовательно меняются от индекса к индексу. К этой группе индексов относятся агрегатные индексы физического объёма и индексы цен, рассчитываемые по формуле Пааше, так как в них количество продукции или цены каждый раз принимаются на уровне отчётного периода.

Индексы с переменными весами используются для построения индекса дефлятора, который используется для перевода значений стоимостных показателей за отчётный период в стоимостные измерители базисного периода. Индекс-дефлятор, например, позволяет соотнести номинальный ВВП страны, определяющий объём произведённой продукции в текущем году и по текущим ценам, с реальным ВВП, измеряющий объём продукции текущего года по ценам, которые сложились в базисном году. Тем самым устраняется действие инфляции на величину ВВП. В основе индекса-дефлятора лежит агрегатная формула индекса цен Пааше с текущими весами. Реальный ВВП есть частное от деления номинального ВВП на индекс-дефлятор.

 

Средние индексы

Общие индексы могут быть исчислены не только как агрегат­ные, но и как средние из индивидуальных или групповых. На­пример, если имеются данные об изменении цен на конкретные товары, то, естественно, из таких индивидуальных индексов мо­гут быть рассчитаны общие (сводные) индексы как средние величины, причем взвешенные.

Средний индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.

Поскольку существует несколько форм (видов) средних вели­чин, то при расчёте средних индексов прежде всего возникает во­прос о форме средней и о весах.

В статистической практике средние индексы рассчитываются на основе агрегатных индексов преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов.

Всякий агрегатный индекс может быть преобразован в средний арифметический из индивидуальных индексов. Для этого индексируемая величина отчётного периода, стоящая в числителе агрегатного индекса, заменяется произведением индивидуального индекса на индексируемую величину базисного периода.

Средний арифметический индекс физического объёма используется, если неизвестны данные о физическом объёме в отчётном периоде, в таком случае физический объём отчётного периода рассчитывают исходя из индивидуального индекса физического объёма.

Индивидуальный индекс физического объёма продукции (товарооборота) равен , откуда , следовательно, преобразование агрегатного индекса в средний арифметический принимает вид:

= =

Аналогично индивидуальный индекс цен равен , откуда

Средний арифметический индекс цен:

= =

Аналогично индивидуальный индекс себестоимости равен , откуда , следовательно, средний арифметический индекс себестоимости:

= =

Средний арифметический индекс производительности труда:

Для анализа производительности труда чаще используется индекс Станислава Густавовича Струмилина (1877-1974):

Средний гармонический индекс физического объёма используется для аналитических оценок в случае, когда неизвестно q ₀, но дано значение q ₁ и индивидуальный индекс (откуда ), а также стоимость продукции базисного периода p ₀:

.

Средний гармонический индекс цены определяется из преобразования агрегатного индекса цены, учитывая, что цена базисного периода определяется через индивидуальный индекс цены ():

Средний гармонический индекс себестоимости:

При определении среднего гармонического индекса цен весами является стоимость продукции текущего периода, а при определении среднего гармонического индекса себестоимости – издержки производства.

“Идеальный” индекс цен Ирвинга Фишера (1867-1947), предложенный в начале ХХ века, рассчитывается как средняя геометрическая индексов цен Пааше и Ласпейреса:

.

Этот индекс Фишер назвал «идеальным»,поскольку в нём не отдаётся предпочтение ни продукции базисного периода, ни про­дукции текущего периода.

Индекс цен Фишера “обратим” во времени (т. е. при перестановке базисного и отчётного периода местами получается индекс, равный обратной величине первоначального индекса), но лишён конкретного экономического содержания.

Вместе с тем, проведённые В. Ф. Ворониным многочисленные расчёты показали, что для целей статистики вполне можно применять не среднюю геомет­рическую, а простую среднюю арифметическую величину из индексов Ласпейреса и Пааше, определяя ее по формулам:

для количества товаров =        

для цен =

При синтезировании общего индекса цен вместо фактического количества товаров (в отчётный и базисный периоды) в качестве соизмерителей индексируемых величин р ₁ и р ₀ могут применяться средние величины реализации товаров. При таком способе расчёта формула сводного индекса цен (называемого индексом цен Лоу) выглядит следующим образом:

.

Индекс цен Лоу применяется в расчётах при закупках или реализации товаров в течение продолжительных периодов времени (пятилетках, десятилетиях и т. п.), поскольку он даёт возможность анализа цен с учётом происходящих внутри отдельных субпериодов изменений в ассортиментном составе товаров.

Средние индексы широко используются для анализа рынка ценных бумаг. Наиболее известным из них является Промышленный индекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average Index). Этот индекс был предложен и опубликован в 1896 году американским бизнесменом и основателем крупнейшей для делового мира газеты «The Wall Street Journal» Чарльзом Доу (1851-1902). Он представляет собой средний арифметический индекс значений курсов акций ведущих американских компаний, котирующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже. С 1928 года рассчитывается по 30 компаний, список который постоянно ротируется. В качестве базового выбран 1920 год. Индекс Стэндарда и Пура (Standard and Poor’s 500 Stock Index) – фондовый индекс, представляющий собой средний взвешенный показатель, рассчитываемый по курсам акций 500 компаний США, имеющих наибольшую капитализацию.

 

Индексы динамики средних показателей

При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение во времени (или пространстве) средней величины индексируемого показателя для определённой совокупности.

Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов (“структуры” объекта).

Динамику среднего показателя можно отразить как за счёт изменения самой индексируемой величины и её веса, так и за счёт каждого из этих двух факторов отдельно.

Например, динамика товарооборота в фактических ценах обусловлена совместным изменением как цены, так и количества проданных товаров.

Индекс физического объёма товарооборота и индекс цены выступают соизмерителями роли этих факторов на общее изменение размера товарооборота в фактических ценах.

В связи с этим можно построить три вида агрегатных индексов качественных показателей – индексы постоянного состава, переменного состава, структурных сдвигов.

Индекс постоянного (фиксированного) состава по своей форме тождественен агрегатному индексу и отражает динамику среднего показателя лишь за счёт изменения индексируемой величины, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчётного периода.

Он показывает изменение общей средней цены за счёт изменения индивидуальных цен в отчётном периоде по сравнению с базисным:

Другими словами, индекс фиксированного состава исключает влияние изменения структуры (состава) совокупности на динамику средних величин, т. е. он характеризует динамику средних величин, рассчитанных для двух периодов при одной и той же фиксированной структуре.

Индекс переменного состава отражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) как за счёт изменения индексируемой величины у отдельных элементов (частей целого), так и за счёт изменения весов, по которым взвешиваются отдельные значения этой величины. Любой индекс переменного состава – это отношение двух средних величин для однородной совокупности (за два периода или по двум территориям). К такому типу индексов относится индекс средней цены, который показывает, на сколько процентов средняя цена (определяемая по формуле средней арифметической взвешенной) изменяется в отчётном периоде по сравнению с базисным:

  Индекс структурных сдвигов показывает динамику среднего показателя лишь за счёт изменения весов индекса, отражающих структуру изучаемого явления, при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода. Он показывает изменение средней цены за счёт изменения физического объёма:

Экономическая сущность индекса структурных изменений состоит в том, что он показывает, во сколько раз изменился общий средний уровень только за счёт изменения удельного веса каждого объекта в общем объёме количественного признака. В той же мере индекс структурных изменений показывает влияние процессов перераспределения на общий прирост итогового показателя.

Если от абсолютных весов перейти к относительным (  и Σ d =1), формулы индексов динамики средних величин примут вид:

а) индекс фиксированного состава:

б) индекс переменного состава:                                   

в) Индекс структурных сдвигов: .

Исходя из вышеизложенных формул, можно определить абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности и за счёт отдельных факторов.

Изменения	Формула расчёта
В целом по совокупности
За счёт изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности
За счёт структурных изменений

 

 Очевидно, что между тремя указанными индексами существует тесная взаимосвязь. Индекс переменного состава равен произведению индекса постоянного состава на индекс структурных сдвигов:

 

Индекс физического объёма продукции по формуле Ласпейреса может быть выражен через индекс структурных сдвигов:

= = = = ,

где  – индивидуальный индекс количества товаров;

 – индекс структурных сдвигов.

Следовательно, количественный индекс Ласпейреса равняется произведению индивидуального индекса количества товаров и индекса структурных сдвигов.

Данная индексная система позволяет получить довольно простую формулу для определения общего агрегатного индекса структурных сдвигов:

Индекс структурных сдвигов используется также для построения трёхфакторной импликативной модели определения общего индекса товарооборота:

Трёхфакторная модель возможна к широкому применению в экономическом анализе для установления количественного влияния каждого фактора на вариацию сложного явления.

Подставляя значение индекса товарооборота в полученную формулу импликативной модели, получаем:

Отсюда можно найти общую выручку отчётного периода:

Агрегатный индекс товарооборота может быть рассчитан ещё двумя способами, учитывая взаимосвязь индексов динамики:

а) через индекс постоянного состава:

б) через индекс переменного состава:

Следовательно, общий индекс выручки от реализации есть произведение индивидуального индекса количества товаров и индекса переменного состава.

Результат расчёта любым способом должен быть одинаковым и это яркий пример того, что истина всегда одна, хотя пути её достижения могут быть разными.

 

Таблица 1. Методика расчёта индексов динамики

Индекс переменного состава (IП.С.= IФ.С.´ IС.С.)	Индекс фиксированного состава	Индекс структурных сдвигов
Отражает динамику среднего пока­зателя (для однородной совокупности) за счёт изменения индек­сируемой величины х у отдельных элементов (частей целого) и за счёт изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные зна­чения х.	Отражает динамику среднего показателя лишь за счёт изменения индексируемой величины х, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчетного периода f1.	Отражает динамику среднего показателя лишь за счёт изменения весов f при фиксировании индексиру­емой величины на уровне базисного периода х0.
Характери­зует динамику средних величин не только за счёт изменения ин­дексируемой величины у отдельных элементов (частей целого), но и за счёт изменения удельного веса этих частей в общей сово­купности, т. е. изменения состава совокупности.	Исключает влияние изменения структуры (состава) совокупности на дина­мику средних величин, т. е. он характеризует динамику средних величин, рассчитанных для двух периодов по одной и той же фик­сированной структуре весов.	-
Этот индекс показывает, как изменилась средняя цена определённого вида товара, реализованная по разным ценам на разных рынках, за счёт двух факторов: р - изменения цен на отдельных рынках и q - изменения количества (доли) товаров, реализован­ных на разных рынках.	Этот индекс, устраняя влияние структурного фактора на дина­мику средних цен, определяет среднее изменение цен на данный товар на всех рынках, т. е. по всей совокупности реализованной продукции.	Данный индекс характеризует изменение средней цены товара за счёт структурного фактора, т. е. изменения долей продукции

 

Пример 1.

Имеются следующие данные:

Изделие	Общие затраты на производство, тыс. руб.		Изменение себестоимости в отчётном периоде по сравнению с базисным, %
	Базисный период	Отчётный период
1 2 3	12100 9500 8400	13500 10600 9800	+5,0 +4,0 –1,0

Определить:

1) агрегатный индекс физического объёма продукции;

2) агрегатный индекс затрат на производство;

3) агрегатный индекс себестоимости продукции.

Решение:

1). Агрегатный индекс физического объёма продукции по себестоимости рассчитывается по формуле:

Знаменатель этой дроби известен по условиям задачи – общие затраты на производство в базисном периоде. В числителе дроби неизвестна величина себестоимости продукции базового периода z₀, но её можно найти через отношение себестоимости отчётного периода z₁ к индивидуальному индексу себестоимости i_z:   

Подставляем данное значение z₀ в числитель агрегатного индекса физического объёма продукции:

2). Агрегатный индекс затрат на производство:

3). Агрегатный индекс себестоимости продукции запишем в форме средней гармонической взвешенной из индивидуальных индексов себестоимости (веса – общие затраты на производство в отчётном периоде):

Проверка правильности расчётов по импликативной модели:

Пример 2.

По имеющимся данным о выпуске и себестоимости одноимённого товара на двух предприятиях требуется определить изменение себестоимости единицы продукции на каждом предприятии, а также в целом по всем предприятиям с помощью индексов: а) переменного состава; б) фиксированного состава; в) структурных сдвигов.

 

Предприятие	Базисный период			Отчётный период
	Произведено продукции		Себестоимость единицы продукции, руб.	Произведено продукции		Себестоимость единицы продукции, руб.
	в тыс. шт.	в долях к итогу		в тыс. шт.	в долях к итогу
	q 0	d 0	z 0	q 1	d 1	z 1
1	120	0,5	480	160	0,4	400
2	120	0,5	400	240	0,6	440
Итого	240	1,0	–	400	1,0	–

Индивидуальные индексы себестоимости для 1-го и 2-го предприятия соответственно:

= 0,833;      = 1,100.

Для дальнейших расчётов понадобятся дополнительные расчёты:

Предприятие	Базисный период			Отчётный период			Расчётные графы
	q 0	d 0	z 0	q 1	d 1	z 1	z0 d 0	z1 d 1	z0 d 1
1	120	0,5	480	160	0,4	400	240	160	192
2	120	0,5	400	240	0,6	440	200	264	240
Итого	240	1	–	400	1	–	440	424	432

Средние себестоимости:

в базисном периоде   руб.;

в отчётном периоде   руб.

Индекс переменного состава:

 .

Индекс фиксированного состава:

 .

Индекс структурных сдвигов:

 .

Проверка:        %.

Себестоимость по двум предприятиям в среднем снизилась на 3,64%:

 – 100% = 96,36 – 100 = –3,64%.

В том числе:

- за счёт изменения структуры выпуска продукции:

 – 100% = 98,18 – 100 = –1,82%;

- за счёт снижения себестоимости на каждом предприятии:

 –  = 96,36 – 98,18 = –1,82%.