Импульс и энергия релятивистской частицы

Мы уже ввели релятивистскую частицу и эффекты, связанные с релятивистским движением. Напомним, что прилагательное «релятивистское» обозначает движение тел с близкими к световой скоростями. Большинство соотношений в данной теме вывести достаточно сложно, поэтому просто верим.

Итак, введённый нами импульс () при условии релятивистской массы может быть записан как:

(1)

§ где

§ — масса тела при нулевой скорости,

§ — масса тела при скорости ,

§ — скорость тела,

§ м/с — скорость света (константа).

Немного о — массе неподвижного в данной системе тела, называемой массой покоя.

Великим Эйнштейном было получено уникальное соотношение, характеризующее полную энергию движущейся частицы:

(2)

§ где

§ — полная энергия движущейся частицы,

§ — релятивистская масса,

§ м/с — скорость света (константа).

Логично предположить, что наименьшей энергией обладает тело, которое покоится в данной системе, назовём эту энергию энергией покоя:

(3)

§ где

§ — энергия покоя тела,

§ — масса покоя тела,

§ м/с — скорость света (константа).

Тогда кинетическая энергия движущегося тела может быть найдена как разность между полной энергией и энергией покоя:

(4)

§ где

§ — кинетическая энергия тела,

§ — полная энергия тела,

§ — энергия покоя тела.

Или:

(5)

При условии (скорость тела очень мала по сравнению со скоростью света) получим (отношение скорости тела к скорости света стремиться к нулю), и соотношение (5) принимает вид — т.е. вид кинетической энергии в классической механике.

Вывод: в случае релятивистской механики (скорость частицы велика) достаточно помнить, что энергетические характеристики тела выражаются через более сложные соотношения (1) — (5). С точки зрения энергии, главное понять по задаче, какую энергию нам необходимо найти — покоя, полную или кинетическую.

Примеры решения задач.

Задача 1.

Какая энергия выделится при полном превращении в излучение вещества массой мг?

Дано:

мг

Найти:
—?

Решение

Думаем: связь массы и энергии описывается уравнением Эйнштейна.

(1)

Считаем: вспоминаем значение скорости света ( м/с) и переводим массу в единицы СИ ( = кг). Тогда:

Дж

Ответ: Дж.

Задача 2.

Какой массе вещества соответствует релятивистская энергия, необходимая для того, чтобы лампа мощностью Вт могла гореть в течение промежутка времени года?

Дано:

Вт
года

Найти:
—?

Решение

Думаем: связь массы и энергии описывается уравнением Эйнштейна.

(1)

Энергию в соотношении (1) можно найти из определения мощности:

(2)

Решаем: исходя из (1) получим массу.

(3)

Из (2) получим энергию:

(4)

Подставим (4) в (3):

(5)

Считаем: вспоминаем значение скорости света ( м/с) и переводим время в единицы СИ ( ч с = с). Тогда:

кг

Ответ: кг.

Задача 3.

Определите массу, теряемую Солнцем за год, если на участок поверхности Земли площадью см² ежесекундно попадает Дж энергии излучения. Расстояние от Земли до Солнца км.

Дано:

см²
Дж
км

Найти:
—?

Решение

Думаем: будем считать, что масса, теряемая Солнце расходуется только на излучение. Связь массы и энергии описывается уравнением Эйнштейна:

(1)

Второе упрощение, которым мы воспользуемся — будем считать, что Солнце излучает во все стороны одинаково. Тогда:

(2)

Т.е. считаем, что вся энергия, излучаемая солнцем попадает на внутреннюю поверхность сферы радиуса . Обозначим площадь данной поверхности как . А за счёт того, что энергия распространяется во все стороны одинаково, то энергия, попавшая на поверхность Земли пропорциональна площадке, на которую падает свет.

Тогда, площадь поверхности сферы:

(3)

Решаем: выразим массу из (1)

(4)

Из соотношения (5) выразим полную энергию:

(5)

Подставим (3) в (5) и получившееся соотношение в (3):

(6)

Считаем: вспоминаем значение скорости света ( м/с), константу и переведём площадь в единицы СИ ( см = м ). Тогда:

кг

Ответ: кг.

Задача 4.

Определите время жизни нестабильной частицы, движущейся со скоростью , которая пролетела от места своего рождения до точки распада расстояние м.

Дано:

Найти:
—?

Решение

Думаем: задача связана с эффектом релятивистского замедления времени. Тогда для решения нам нужно воспользоваться соответствующей формулой:

(1)

В соотношении (1) главное не запутаться какое время соответствует чему. Так — время для движущейся системы, — время для покоящейся системы.

Вторая часть задачи — поиск времени, за которое тело преодолело соответствующее расстояние. Считая, что движение равномерное, получим:

Решаем: совместим (1) и (2) и выразим искомую величину.

(3)

Подставим в соотношение (3) наше дано по поводу скорости:

(4)

Считаем: осталось вспомнить значение скорости света в вакууме ( м/с) и подставить значения.

Ответ: с.

Задача 5.

Определите периметр фигуры в системе отсчёта наблюдателя, если он движется со скоростью, модуль которой , в направлении, параллельном одной из сторон квадрата, собственная длина стороны которого см.

Дано:

см

Найти:
—?

Решение

Думаем: периметром многоугольника называется сумма всех его сторон. При движении тела с околосветовой скоростью наблюдаются релятивистское сокращение длины. Тогда две стороны, сонаправленные с направлением движения испытывают видимое изменение длины, описываемое соотношением:

(1)