Также можно сказать, что

Тема. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

 

Вопросы темы:

Понятие числовой последовательности. Способы задания числовой последовательности.

Основные свойства последовательностей.

Предел последовательности.

Теоремы о пределах последовательности.

Домашнее задание.

 

1. Понятие числовой последовательности.

Способы задания числовой последовательности

 

Что означает слово «последовательность»? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то.

Пример:

- последовательность действий;

- последовательность времён года;

- последовательность людей в очереди,

- последовательность слонов на тропе к водопою.

 

Характерные признаки последовательности:

1. Члены последовательности располагаются строго в определённом порядке.

Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность.

2. Каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер:

 

Мы говорим о числовой последовательности.

Пусть каждому натуральному значению n по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число x_n. Тогда говорят, что задана числовая последовательность .

В математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел.

При этом:  называют первым членом последовательности;  – вторым членом последовательности;  – третьим членом последовательности; …  – энным или общим членом последовательности; …

На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена.

 

Функцию вида у = f(x), х∈N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью, где N – множество натуральных чисел.

Числовая последовательность обозначается:

у = f(n) или у₁, у₂, у₃,...,у_n,... или (у_n).

Также можно сказать, что

числовой последовательностью называют множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер.

 

Пример:

а). Для последовательности положительных нечетных чисел 1, 3, 5, 7,... – известно, что: первое число равно 1,

второе число равно 3,   третье число равно 5 и т. д.

 

б). Для последовательности правильных дробей с числителем 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... – известно, что:

первое число равно 1/2,

второе число равно 1/3,

третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Обозначаются члены последовательности буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: у₁, у₂, у₃,...,у_n,..., или (у_n).

Соответственно, член последовательности с номером n (n-ый член) обозначают у_n, а саму последовательность – (у_n).

 

Пример:

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102;...; 999.

В этой последовательности:

у₁ = 100,  у₂ = 101,  у₃ = 102,...,  y₉₀₀ = 999.

Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле:

у_n = 99 + n,             где n = 1, 2, 3,..., 900.