А). Пусть последовательность задана формулой

1 2 3 4 5

у_n₊₁= 2у_n + 3, где у₁ = 5 и n ≥ 1.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 1:

y_n₊₁= 2у₁ + 3, то есть, у₂ = 2 ˟ 5 + 3 = 13.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 2:

у₂₊₁ = 2у₂ + 3, то есть, у₃ = 2 ˟ 13 + 3 = 29.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 3:

y₃₊₁ = 2у₃ + 3, то есть y₄ = 2 ˟ 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность: 5, 13, 29, 61,....

Б). Пусть последовательность задана формулой

у_n₊₂ = 2у_n₊₁ + 3у_n, где у₁ = 1, у₂ = 2 и n ≥ 1.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 1:

у₁₊₂ = 2у₁₊₁ + 3у_1, то есть у₃ = 2у₂ + 3у_1, то есть у₃ = 2 ˟ 2 + 3 ˟ 1 = 7.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 2:

у₂₊₂ = 2у₂₊₁+ 3у₂ или у₄ = 2у₃ + 3у₂ = 2 ˟ 7 + 3 ˟ 2 = 20.

- Запишем рекуррентную формулу для n = 3:

у₃₊₂ = 2y₃₊₁ + 3y₃, то есть у₅ = 2у₄ + 3у_3, то есть у₅ = 2 ˟ 20 + 3 ˟ 7 = 61 и т.д.

Имеем последовательность: 1, 2, 7, 20, 61,....

в). Арифметическая прогрессия: a₁=a, a_n+1=a_n+d, где a и d – заданные числа, d - разность арифметической прогрессии. Пусть a₁=5, d=0,7, тогда арифметическая прогрессия будет иметь вид:

5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5;....

г). Геометрическая прогрессия: b₁= b, b_n+1= b_nq, где b и q – заданные числа, b 0, q 0; q – знаменатель геометрической прогрессии. Пусть b₁=23, q=½, тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875;....

3. Описательный способ

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул либо когда закономерность между элементами последовательности отсутствует.

Пример:

а). Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел.

Из описания последовательности легко выписать ее члены:

2, 4, 6, 8,...

б). Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,.....

в). Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39,....

г). Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...

Вопрос 2. Основные свойства последовательностей

Рассмотрим два основных свойства последовательностей:

Первое свойство. Ограниченность последовательности

По виду ограниченности выделяются три вида последовательности:

А). Последовательность (у_n) называем ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа М.

То есть последовательность (у_n) называем ограниченной сверху при у_n ≤ М.

Число М называем верхней границей последовательности.

Пример:

Последовательность у_n = 5 – n ограничена сверху.

При этом число М = 4.

Покажем, что при всех натуральных n должно выполняться неравенство у_n ≤ М.

В соответствии с условием, для любых n должны получить неравенство 5-n ≤ 4, из которого следует, что n ≥ 1 (то есть, неравенство справедливо при всех n∈N, где N –множество натуральных чисел).

Следовательно, при всех натуральных n неравенство выполняется.

Б). Последовательность (у_n) называем ограниченной снизу, если все члены последовательности не меньше числа m.

То есть последовательность (у_n) называем ограниченной снизу при у_n ≥ m.

Число m называем нижней границей последовательности.

Пример:

Последовательность у_n = 3 + 2n ограничена снизу.

При этом число m = 5.

Покажем, что при всех натуральных n выполнено неравенство y_n ≥ m.

Получаем неравенство: 3 + 2n ≥ 5, из которого следует, что n≥1 (то есть неравенство справедливо при всех n∈N, где N –множество натуральных чисел).

В). Если последовательность (у_n) ограничена и сверху, и снизу, то эту последовательность называем ограниченной последовательностью.

Или иначе: Последовательность (у_n) называем ограниченной, если существуют два таких числа m и М, что для любого номера n выполняется неравенство m ≤ у_n ≤ М. (при n∈N, где N –множество натуральных чисел).

Пример:

Докажем ограниченность последовательности, которая выражена формулой: .

Найдем:

- первый (n=1) член последовательности у_1: и

- и член последовательности с очень большим номером n, например, у_100: .

Возникает гипотеза, что последовательность ограничена, то есть m = 0 и М = 1.

Для этого необходимо доказать, что при всех натуральных значениях n выполняется неравенство .

Очевидно, что левая часть неравенства выполняется.

Рассмотрим правую часть неравенства .

Так как выражение n + 2 положительно, то получим неравенство n - 1 ≤ n + 2 из которого следует, что -1 ≤ 2, что является верным.

Второе свойство. Монотонность последовательности

1. Последовательность (у_n) называют возрастающей, если каждый член последовательности (начиная со второго) больше предыдущего, то есть у_n₊₁ > у_n для n ≥ 1.

2. Последовательность (у_n) называют убывающей, если каждый член последовательности (начиная со второго) меньше предыдущего, то есть y_n₊₁ < у_n для n ≥ 1.

Пример:

Определим монотонность последовательности .

Запишем (n+1) -й член последовательности:

.

Найдем разность двух соседних членов последовательности:

.

Так как n – натуральное число, то при всех n полученная

дробь положительна.

Поэтому у_n₊₁ – у_n > 0, из чего следует, что

у_n₊₁ > у_n при всех n (при n∈N, где N –множество натуральных чисел).

Из чего следует, что, по определению, данная последовательность (у_n) – возрастающая.

Заметим, что возникает два случая:

1. Последовательность у_n = a_n при a>1 – возрастает;

2. Последовательность у_n = a_n при 0 < a < 1 – убывает.

Вопрос 3. Предел последовательности

Введем еще одно важнейшее понятие – предел последовательности.

Предел – это пространственная, временная или числовая граница чего-либо.

Число b называется пределом последовательности, если для всех достаточно больших n соответствующее значение y_n как угодно мало отличается от b.

или

Число b называем пределом последовательности (у_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера N:

запишем с помощью условных обозначений: , где значок lim – это значок предела;

прочитаем: предел последовательности, при стремлении n к бесконечности, равен b, при этом часто фразу «при стремлении n к бесконечности» опускаем.

Можно иначе: пишем: у_n → b,

читаем: у_n стремится к b, или у_n сходится к b.

Вспомним понятие «окрестность точки b ». Под ним понимаем интервал (b-r; b+r), где r – радиус окрестности (r>0).

Пример:

Покажем, что (то есть, покажем, что предел числовой функции y_n = 2/n – равняется нулю).

Прежде всего отметим, что понятие предела последовательности очень сложное и иногда воспринимается с трудом. Поэтому по пунктам разберем этот пример:

1). В данном случае число b = 0 (по определению, b – это значение предела последовательности: )

Выберем произвольный радиус r окрестности точки b (обычно r выбирают небольшим и r>0).

Поэтому будем рассматривать интервал (0-r; 0+r) или (-r; r).

2). Нужно найти номер n, начиная с которого все члены последовательности у_n = 2/n будут находиться в интервале (-r; r).

Чтобы найти этот номер n, надо относительно n решить неравенство

-r < 2/n < r.

3). - Очевидно, что левая часть неравенства -r<2/n выполняется при всех натуральныхn.

- Решив правую часть неравенства 2/n<r, получим 2<nr,

откуда n > 2/r.

Итак, при n > 2/r все члены последовательности у_n отличаются от своего предела в менее чем на r.

4). Сделаем оценки. При r = 0,1 получаем n > 20 (то есть начиная с номера n = 21 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,1).

При r = 0,01 имеем n > 200 (то есть начиная с номера

n = 201 все члены последовательности отличаются от предела не более чем на 0,01) и т. д. На Рис. 2 приведена графическая иллюстрация для этого случая.

Рис.2

Видно, что в r -окрестности предела собирается (сгущается) бесконечное множество членов последовательности, вне этой окрестности находится только конечное число членов.

Итак,

- Если последовательность (у_n) имеет предел, это означает что последовательность (у_n) сходится и все члены этой последовательности сходятся к этому пределу. Последовательность называется сходящейся.

- Если последовательность (у_n) не имеет предела, это означает что числовая последовательность (у_n) расходится. Последовательность называется расходящейся.

Вопрос 4. Теоремы о пределах

Приведем формулировки теорем о пределах последовательностей.

Теорема 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Теорема 4. Если предел последовательности (x_n) равен b, а предел последовательности (у_n) равен с, то есть то:

1) предел суммы этих последовательностей равен сумме пределов каждой из последовательностей: ;

2) предел произведения последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей: ;

3) предел частного последовательностей равен частному пределов этих последовательностей: ;

4) постоянный множитель последовательности можно вынести за знак предела: .

Анализ