2020-06-29
51Рассмотрим свойства тригонометрических функций 
, 
, 
, 
.
Свойства функции :
1. Область определения функции 
.
2. Множество значений функции 
.
3. Функция нечётная, т.е. 
для всех 
.
4. Функция периодическая, наименьший период 
, т.е. 
.
5. Нули функции 
.
6. Функция возрастает на промежутках 
, а убывает на промежутках 
.
7. Точки 
являются точками максимума, а точки 
- точками минимума.
Пример 1. Найдите множество значений функции 
.
1) [-11;11] 2) [0;11] 3) [-1;1] 4) 
Решение. Так как 
, то 
, т.е. множеством значений функции является промежуток 
.
Ответ: [-11;11].
Свойства функции :
1. .
2. .
3. Функция чётная, т.е. 
для всех .
4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. 
.
5. Нули функции 
.
6. Функция возрастает на промежутках 
, а убывает на промежутках 
.
7. Точки 
являются точками максимума, а точки 
- точками минимума.
Пример 2. Найдите наименьшее значение функции 
.
Решение. Используем формулу преобразования разности в произведение (4.5):
.
Так как 
, то 
, т.е. множеством значений функции является промежуток 
. Тогда наименьшим значением функции является y=-2.
Ответ: -2.
Пример 3. Расположите в порядке убывания 
.
1)
2) 
3) 
4) 
Решение. Углы 
принадлежат промежутку 
, на котором функция убывает. Тогда из условия 
следует 
.
Ответ: 3).
Свойства функции :
1. , кроме 
.
2. 
.
3. Функция нечётная, т.е. 
для любого .
4. Функция периодическая, наименьший период 
, т.е. 
.
5. Нули функции .
6. Функция возрастает на интервалах 
.
Пример 4. Найдите наименьшие положительные периоды следующих функций:
1) 
2) 
Решение. Воспользуемся следующим утверждением:
Если функция f (x) периодическая и имеет наименьший положительный период T, то функция Af(kx+b), где A, k и b постоянны, а 
, также периодична, причём её наименьший положительный период равен 
.
1) Так как наименьший положительный период функции равен 
, то наименьший положительный период функции равен 
.
2) Воспользуемся формулой сложения (2.1) и получим 
. Так как наименьший положительный период функции равен 
, то наименьший положительный период функции 
равен 
.
Ответ: 
.
Свойства функции :
1. , кроме .
2. .
3. Функция нечётная, т.е. 
для любого .
4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. 
.
5. Нули функции .
6. Функция убывает на интервалах 
.
Пример 5. Найдите множество значений функции 
.
Решение. Область определения функции включает значения 
. По формуле 1.4 получаем 
для всех x из области определения функции.
Ответ: 1.
Задачи.
1. Вычислите 
если 
1) 4
5) 6
9) 10
2) 5
6) 13
10) 8
3) 3
7) 1
11) 12
4) 2
8) 0
12) 9
2. Найдите значения следующих выражений:
1) 
2) 
3) 
4) 
3. Результат вычисления выражения 
равен
1) 
2) 
3) 
4) 2
4. Результат вычисления выражения 
равен
1) 3
2) 2
3) 1
4) -1
5. Результат вычисления выражения 
равен
1) 
2) 
3) 
4)
6. Упростите выражение 
1) 1
2) 
3) 
4) -1
7. Упростите выражение 
.
1) 1 2) 
3) 
4) 
8. Упростите выражение 
.
1) 1
2)
3)
4)-1
9. Упростите выражения:
1) 
2) 
10. Найдите наименьший положительный период функции 
11. Найдите множество значений функции 
1) [2;4]; 2) [1;3]; 3) [-1;1]; 4) 
12. Найдите множество значений функции 
.
1) [4;8] 2) [2;4] 3) [1;2] 4) [2,5;3,5]
13. Укажите наименьшее положительное целое число, не входящее во множество значений функции 
.
1) 1
2) 0
3) 3
4) 4
