Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

Группа 1С-46/ТЭ-49

Тема. Конус.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Написать конспект.

3. Изучить видео урок.

4. Выполнить задания.

5. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

6. Выполненные задания сдать до: 08.06

 

Учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

 

 Ссылка на учебник онлайн:

https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/atanasyan_10-11kl.html

С. 135-138

Ссылка на видео урок: https://www.youtube.com/watch?v=9tX12GUc29o

 

Определение:тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания, называется круговым конусом. Образующие конуса — отрезки, соединяющие вершину конуса Р с точками окружности основания. Высота конуса h — перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, является высотой конуса. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Боковая поверхность конуса — поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности, лежащей в основании конуса, с вершиной конуса.

Примеры:

1. Морковь и сосулька имеют форму, близкую к форме конуса.

2. Если боковую поверхность прямого кругового конуса разрезать по одной из его образующих, то в развертке получится сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса.

3. При вращении прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов получается прямой круговой конус.

Сечением прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны — образующие конуса. Частным случаем является осевое сечение — сечение, проходящее через ось конуса. Если секущая плоскости перпендикулярна оси конуса, т.е. параллельна плоскости основания конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром на оси конуса.

 

Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса:

S_бок=𝛑RL.

Площадь полной поверхности конуса: S_полн=𝛑R(R+L).

 

Усеченный конус

Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.

Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.

Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.

Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.

Усечённый конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольной трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.

 

Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.

Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса

S_{бок.пов.ук}=π(r+R)L

S_{.полн.пов.ук}=π(rL+RL+r²+R²)

 Домашнее задание:

Основные понятия по теме (выучить):

Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.

Эти прямые – образующие конической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.

Конус – тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.

Круг – основание конуса; точка - вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.

Ось конической поверхности называется осью цилиндра.

Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого - образующая конуса, а длина дуги - длина окружности основания конуса.