Непрерывные случайные величины

Группа 2ПСО-40

Тема. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Задание:

1. Изучить теоретические сведения и написать конспект.

2. Записать пример выполненного задания.

3. Устно ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить задание письменно.

5. Выполненные задания сфотографировать и отправить на электронную почту tryufelka83@mail.ru или в ЛС социальной сети VKontakte.

6. Выполненные задания сдать до: 27.05

Непрерывные случайные величины

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.

В отличие от дискретной случайной величины, НСВ может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины.

Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток: P(α < X < β) = F(β) - F(α), причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет: P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β).

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция f(x) = F¢(x), производная от функции распределения.

                          

                      Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.

2.  Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.

3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле  

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.

4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть [x, x + Δx) — интервал произвольно малой длины Δx > 0. Вероятность попадания случайной величины в этот интервал приближенно равна произведению значения плотности распределения в точке x на длину этого интервала: f(x)Δx, то есть вероятность пропорциональна длине интервала, причем коэффициент пропорциональности равен значению плотности распределения в точке x (см. рис.).

Вероятность попадания случайной величины в интервал длины Δx
Числовые характеристики непрерывной случайной величины находятся по формулам, похожим на формулы для дискретной случайной величины, но везде знак суммы заменяется на знак интеграла, а вероятность p_i на дифференциальный элемент вероятности f(x)dx.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

Дисперсия непрерывной случайной величины:  

Все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулированные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):  f(x) = dF(x)/dx = 1/4

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение: