Тема 3. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса

1. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из множества попарно несовместных событий (гипотез) H₁, H₂, …, H _n. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности .

События H₁, H₂, …, H _n называются гипотезами по отношению к событию А.

2. Формулы Бейеса

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез (априорные вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по формулам Бейеса

Пример 5. (Варианты 2, 4, 6, 8)

В ателье имеются 5 плейеров, выпущенных заводом B, 10 плейеров – заводом C, 15 плейеров – заводом D. Вероятность того, что плейеры, выпущенные заводами B, С, D, выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8, 0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что взятый наудачу плейер выдержит гарантийный срок службы.

Решение:

Событие А = {плейер выдержит гарантийный срок службы},

Гипотеза H₁ = {плейер выпущен заводом В},

Гипотеза H₂ = {плейер выпущен заводом С},

Гипотеза H₃ = {плейер выпущен заводом D}.

=0,8; =0,85; =0,9.

По формуле полной вероятности

Пример 6. (Варианты 1, 3, 5, 7, 9, 10)

Литьё в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха, 30% из второго цеха. Литьё первого цеха имеет 10% брака, второго – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность её изготовления первым цехом?

Решение:

Событие А ={болванка без дефекта}.

Гипотеза H₁ – болванка изготовлена первым цехом,

Гипотеза H₂ – болванка изготовлена вторым цехом,

Литьё первого цеха имеет 10% брака, следовательно, 90% болванок, изготовленных первым цехом, не имеют дефекта и =0,9. Литьё второго цеха имеет 20% брака, следовательно, 80% болванок, изготовленных вторым цехом, не имеют дефекта и =0,8. Необходимо найти .