Классический и геометричесий способы подсчета вероятностей

1. При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле

где все элементарные исходы равновозможны (т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой),несовместны и единственно возможны;

n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания;

m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А.

2. Для подсчета m и n, а также для других целей, часто приходится использовать комбинаторные понятия и формулы.

Пусть имеется n различных объектов (элементов).

а). Расположение их всех в каком-нибудь определенном порядке называется перестановкой из n элементов.

Перестановки, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок: ,

где , n=1,2,3,…; 1! = 1, 0! = 1.

б). Расположение некоторых m (m n) из них в определенном порядке называется размещением m элементов из n элементов. Размещения отличаются и составом и порядком элементов. Число всех возможных размещений

Понятно, что при m=n размещение является перестановкой.

в). Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получится сочетание m элементов из n. Сочетания отличаются только составом элементов.

Число всех возможных сочетаний

3. Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l/ Длина L.

Аналогично определяются вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G

Р = Площадь g/Площадь G

и вероятность попадания точки в пространственную фигуру , которая составляет часть фигуры V

Р = Объём / Объём V.

Пример 1. (Варианты 1,2,3,4)

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Событие А = {извлечены три окрашенных детали}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15, т.е.

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10 окрашенных, т. е.

Пример 2. (Варианты 5,6,7,8)

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. Наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины и четыре мужчины.

Решение:

Событие А= {среди отобранных ровно три женщины}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех работников, цеха, т.е. из 10 человек.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди 7 отобранных ровно 3 женщины): трёх женщин можно выбрать из четырёх способами; при этом остальные 4 человека должны быть мужчинами. Выбрать же четырех мужчин из шести мужчин можно способами.

Следовательно,

Пример 3. (Варианты 9,10)

На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями.

Решение: