Тема: Алгебраический материал

 

       К алгебраическим понятиям, которые изучают в начальных классах, относят: числовые и буквенные выражения, числовые равенства и неравенства, уравнения.

    Этот материал включен в курс математики с целью:

1) более осознанного усвоения математических понятий;

2) для установления преемственности с курсом математики в средней школе.

С начала 1 класса учащихся знакомят с понятиями: числовое выражение, равенство и неравенство.

    Числовым выражением называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и скобок. Например, 2+(6+4).

    Числовым равенством называют запись, состоящую из чисел, знаков действий и знака равно (или: два выражения, соединенные знаком равно называют равенством). Например, 2+5=3+4.

    Два выражения, соединенные знаками «больше» или «меньше» называют числовым неравенством. Например, 7+5<15.

    Число, получаемое в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения.

    Если числовое значение найти нельзя, то говорят, что числовое выражение не имеет смысла. Например, 18: (12-12).

    В начальных классах, т.к. изучают действия только с целыми положительными числами, к выражениям, не имеющим смысл, относят и такие (4-11).

    С начала 1 класса вводят простейшие числовые выражения в одно действие, постепенно количество действий увеличивают. При этом, т.к. это только сложение и вычитание, то сообщают, что все действия надо выполнять поочереди слева направо, независимо сложение это или вычитание.

    В конце 2 класса начинают изучать «Действия умножения и деления», но выражения, в которых есть действия разных ступеней (1 ступень – сложение и вычитание, 2 ступень – умножение и деление) дают только такие, в которых порядок действий «слева направо» будет верным.

Например: 16:2+3

 Выражения с другим порядком действий появляются лишь в 3 классе при изучении темы «Порядок действий в выражениях». М3М ч.3 с.24

    В этой теме по всем программам изучают 3 правила.

Правило 1. Отражает порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени (сложения и вычитания или умножения и деления). В этом случае действия выполняют поочереди слева направо.

Правило 2. Отражает порядок действий в выражениях, содержащих действия двух ступеней, в этом случае сначала поочереди слева направо выполняют действия 2 ступени, потом действия 1 ступени.

Правило 3. Отражает порядок действий в выражениях со скобками и говорит о том, что действия в скобках надо выполнять в первую очередь. Скобки по всем программам вводят перед изучением сочетательного свойства сложения.

    Перед  введением скобок можно создать проблемную ситуацию, предложив такое выражение: из 10 вычесть сумму 3 и 2. Пока дети не знают знака «скобки», они запишут без скобок и, следовательно, изменится порядок действий и значение выражений.

    Сравним результат, который получился при устном выполнении и при записи. Видим противоречие. Учитель сообщает, что в математике есть специальный знак, показывающий, что это действие надо выполнить в первую очередь. (Найти в учебниках правила выполнения порядка действий).

    Среди упражнений, связанных с формированием понятий «числовое выражение», «значение числового выражения» ведущее место принадлежит тем, в которых надо найти значение числового выражения. Этот процесс связан с тождественными преобразованиями числовых выражений, т.е. заменой одного числового выражения другим, тождественно равным ему.

    В начальных классах эта терминология не вводится, хотя тождественные преобразования выполняются. В начальных классах их выполняют на основе:

1) правил порядка действий в выражениях;

2) использования свойств действий. Например, (5+2)+3=5+(2+3);

3) вычислительных приемов. Например, 15•3=(10+5)•3=10•3+5•3=30+15=45.

    Таким образом, к концу 4 класса, учащиеся должны уметь находить значение числовых выражений в несколько действий (4-6 действий).

    Кроме числовых, изучают буквенные выражения, равенства и неравенства.

    Буквенным называют выражение, содержащее букву.

Смысл буквы двоякий, с одной стороны – это неизвестное число, но с другой стороны – переменная величина.

    При введении буквенных выражений можно использовать такую методику. На подготовительном этапе рассматривается выражение с «окошками». На уроке введения также берем такое выражение с «окошками», например, 10+ . Рассуждаем, какое число можно поставить в «окошко»? Здесь можно использовать специальное наглядное пособие – абак с движущейся лентой. Учитель передвигает ленту и последовательно получает несколько числовых выражений, каждый раз находим значение нового выражения и приходим к выводу, что вместо «окошка» можно поставить любое число и при этом значение выражения будет меняться. Далее предлагают взять это же выражение с «окошком», но поменять его форму. Например, 10+Ợ, 10+∆.

Рассуждаем, влияет ли форма окошка на то, какие числа будем подставлять и на значение числового выражения (нет). Следовательно, в данном случае «окошко» - знак, обозначающий, что второе слагаемое неизвестно. Далее идет ознакомление с буквенным выражением. М2М ч.1 с.76  Сообщаем, что в математике для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита, можно вывесить таблицу с латинским алфавитом или записать на доске несколько таких букв (обычно а, b, с, d)..

    В соответствии со стандартом начальной математической подготовки должны рассматривать только простейшие буквенные выражения, содержащие одну букву. Например, а+5, 8•с. Позднее в 3-4 классах рассматривают буквенные выражения, содержащие две буквы в 1-3 действия. а:3+в:2

    Для закрепления предлагают такие упражнения.

1. Найдите значение буквенного выражения при следующих значениях буквы. Например, 8 – b, при b=2,3,4.

2. Самостоятельно подберите несколько значений буквы и найдите значение буквенного выражения. Например, 8 – b. В этом случае обсуждаем, что b не может быть больше 8.

3. Часто в этом случае используется таблица.

 

а	4	6	8
а•7

 

Такие упражнения способствуют не только формированию вычислительных навыков, но и функциональной пропедевтике, т.к. уже в этот период учитель обсуждает с детьми значение переменной величины и функции, хотя термин «функция» не вводится. Учитель показывает, как зависит значение от буквенного выражения, от значения переменных.

Подробнее о функциональной пропедевтики смотри статью Цыдыповой, журнал «Начальная школа», 1994г., №1.

Особое внимание в начальных классах уделяют решению уравнений, хотя  решение уравнений является основным лишь в средней школе. В начальной школе осуществляется первичное ознакомление с уравнениями и способами их решения. Поэтому в учебнике И.Б. Истоминой эта тема вводится в конце 4 класса, а по программе М.И. Моро – во 2 классе ч.1 с.80.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

    Термин «решение» употребляется в двух смыслах: Он обозначает как число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, то есть способ решения уравнения.

    Ответ на вопрос когда целесообразно знакомить детей с уравнением – в первом, во втором или третьем классе, неоднозначен.

    Одна точка зрения – познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. (Моро М.И.)

    Другая точка зрения – приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

Н. Б. Истомина разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем, что для осознания связи между компонентами и результатами действий необходимо опираться на предметную деятельность.

    В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образец и большое количество тренировочных упражнений. Это приводит к тому, что учащиеся, решая уравнения, часто руководствуются не общим способом действий (правилом), а внешними признаками.

Методика обучения решению уравнений проходит в несколько этапов.

1. Подготовительный этап  начинается в первом классе. Учащиеся переходят к действиям над числами и выполняют задания, связанные с нахождением неизвестного числа в «окошке», например:

 

Дети находят число либо подбором, либо на основе знаний состава числа, либо на основе зависимости между компонентами и результатом действия.

 На данном этапе учителю необходимо включать в устные упражнения следующие задания:

    - Сколько надо вычесть из 3, чтобы получилось 2?

    - Сколько надо прибавить к 2, чтобы получилось 4?

 

- Подготовительную работу к решению уравнений мы можем наблюдать при выполнении действий с предметами.

М1М,ч1,с 39

 

Так же действия с окошечками используются и при решении задач.

М1М,ч1,с50                                                    

 

2. На втором этапе учащиеся знакомятся с понятиями «уравнение» и «корень уравнения». На протяжении нескольких уроков дети учатся решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым. Названия компонентов арифметических действий были введены в речевую практику учащихся и использовались для чтения равенств и выражений. По программе Моро данная тема вводится следующим образом: М2 Мч1 с.80

 

    При введении используется такой прием.

 Предлагаем карточку, на которой записано равенство с окошком.

 

… + 4=12

 Дети подбирают число, которое нужно прибавить к 4, чтобы получить 12. Так как число мы меняли, то смысл окошка в данном случае в том, что это переменная величина.

    Если мы используем другой способ и находим число как неизвестное слагаемое по правилу, то в этом случае число в «окошке» – это неизвестная величина.

    Поясняем, что вместо окошка для обозначения неизвестного числа используют латинские буквы. Получаем запись:

Х+4=12                Сообщаем:

Уравнение– это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых  равенство будет верным.