2020-06-29
85
Из формул (6) имеем: 
; 
.
Если перейти от алгебраической формы к новой записи комплексного числа, то получим тригонометрическую форму комплексного числа
(7)
Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, считаются равными, если они имеют равные модули, а аргументы отличаются на целое, кратное 2 П число.
Пример 2.
Записать числа 
; 
в тригонометрической форме.
Решение:
В примере 1, мы находили модули и аргументы этих комплексных чисел. Воспользовавшись формулой (7), запишем данные числа в тригонометрической форме:
; 
.
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел является очень удобной при умножении и делении чисел.
Возьмем два числа в тригонометрической форме:
1) Произведением двух комплексных чисел называется число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов данных комплексных чисел.
(8)
2) Частным двух комплексных чисел называется число, модуль которого равен частному модулей этих чисел, а аргумент равен разности аргументов данных комплексных чисел.
(9)
3) При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем нужно возвести в степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.
(10)
Формула (10) называется формулой Муавра.
4) Чтобы извлечь корень п-й степени из комплексного числа, нужно извлечь корень из модуля этого числа, а аргумент поделить на показатель корня.
, 
(11)
Задания для закрепления и самоконтроля:
1. Найти произведение комплексных чисел:
,
. Ответ: 
.
2. Найти частное комплексных чисел:
. Ответ: 
.
3. Вычислить: 
.
Ответ: 
.
4. Найти 
.
Примечание: сначала переведите данное число в тригонометрическую форму, а потом по формуле (11) извлеките корень, выбрав k=0,1,2.
Ответ: 
,
, 
, 
Контрольные вопросы.
1. Что называется модулем комплексного числа?
2. Что называется аргументом комплексного числа?
3. Как вычислить модуль и аргумент комплексного числа?
4. Почему аргумент не определяется однозначно для любого комплексного числа?
5.Как найти произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме?
6. Как найти частное двух комплексных чисел в тригонометрической форме?
7. Как возвести комплексное число в натуральную степень?
8. Как извлечь корень из комплексного числа?
9. Сколько результатов получаем при извлечении корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?
Литература:
И.И.Валуцэ, Г.Д.Дилигул «Математика для техникумов», М.,1989, с.101-110.
