Для ускорения процесса шлюзования в некоторых случаях предусматривают одновременное наполнение камер из нескольких сберегательных бассейнов, расположенных на разных уровнях. При проектировании такой схемы наполнения (опорожнения) камеры шлюза необходимо знать направление движения воды в галереях каждого из бассейнов и в галереях камеры в течение всего процесса.
Сложность математического моделирования процесса заключается в решении системы уравнений неустановившегося движения воды, описывающих одновременную работу трех и более сообщающихся резервуаров.
Известно решение задачи о трех сообщающихся резервуарах с разными, но сохраняющимися постоянными уровнями воды и с неменяющимися во времени коэффициентами сопротивления трубопроводов, соединяющих их.
Решение сводится к построению пьезометрических линий и определению пьезометрического напора в точке схождения трубопроводов «О» (рис. 5.1, а). Сопоставление этого напора с напорами из резервуаров позволяет судить о направлении движения воды в трубопроводах.
Если напор Hi из i -го резервуара больше пьезометрического напора в точке «О», то резервуар является питающим. Если напор из резервуара меньше пьезометрического напора в точке «О», то резервуар питаемый. Если напор из резервуара и пьезометрический напор в точке «О» равны, то резервуар нейтрален, т.е. Qi=0.
Система уравнений, описывающая совместную работу всех резервуаров, представленных на рис. 5.1, а, выглядит следующим образом:
(5.1) |
где: ki - модуль расхода i -го трубопровода;
li - длина i -го соединительного трубопровода;
Ñi - отметка горизонта воды в i -ом резервуаре;
Qi - расход воды, проходящий по i -му трубопроводу.
В настоящем разделе предлагается решение задачи о трех сообщающихся резервуарах [61] с изменяющимися во времени уровнями воды в них и коэффициентами сопротивлений трубопроводов.
Рис. 5.1. Схемы к решению задачи о трех сообщающихся резервуарах
Рассмотрим три сообщающихся резервуара, у которых соединяющие их трубопроводы сходятся в одной точке (рис. 5.1, б).
Для каждого резервуара известны следующие параметры:
Ω – площадь водной поверхности;
ω – площадь поперечного сечения соединительного трубопровода;
l – длина соединительного трубопровода;
– начальная отметка воды в резервуаре;
ξ – коэффициент гидравлического сопротивления.
Сложность решения этой задачи заключается в том, что уравнение Бернулли может быть составлено только для двух сечений.
Преобразуем исходную схему (рис. 5.1, б). Для этого к точке схождения трубопроводов подведем фиктивный резервуар со следующими характеристиками: Ω0, Ñ0, l0=0, ξ0 = 0.
Далее разобьем общую схему на три раздельные, состоящие из двух резервуаров, один из которых фиктивный (см. рис. 5.1, в, г, д).
Совместность работы этих систем обеспечивается выполнением условия:
(5.2) |
Работа каждой системы описывается дифференциальным уравнением второго порядка:
(5.3) |
и уравнением неразрывности:
, | (5.4) |
где: Q – расход воды;
l – приведенная к расчетной площади соединительного трубопровода его длина;
А – приведенная площадь зеркал резервуаров;
ξ – суммарный коэффициент сопротивления, приведенный к расчетной площади соединительного трубопровода;
h - перепад между уровнями воды в резервуарах одной системы.
Работа всех резервуаров будет описываться системой уравнений:
(5.5) |
Для числа сообщающихся резервуаров равного n система уравнений (5.5) примет следующий вид:
(5.6) |
Если количество резервуаров более трех и трубопроводы их соединяющие сходятся в разных точках, то расчетная схема будет иметь столько фиктивных резервуаров, сколько имеется точек схождения трубопроводов.
На рис. 5.2. приведен пример расчетной схемы для пяти сообщающихся резервуаров, трубопроводы которых сходятся в двух точках.
Рис. 5.2. Схема к решению задачи о пяти сообщающихся резервуарах
Система уравнений, описывающая их работу, имеет вид:
, | (5.7) |
где введены следующие обозначения:
; ; ; ; ; . |
Таким образом, общее число уравнений, описывающих работу сообщающихся резервуаров равно n+m, n – число сообщающихся резервуаров,
m – число точек схождения трубопроводов.
Уравнение типа (5.3) не может быть решено в элементарных функциях в случае переменного ξ, поэтому для решения системы приходится использовать приближенные численные способы расчета.
Для анализа гидравлических процессов рассмотрим решение системы (5.6) применительно к трем резервуарам со следующими характеристиками:
- площади зеркал Ω1=Ω2=Ω3= 1500м2;
- длины соединительных трубопроводов l1= 300 м, l2= 200 м, l3= 100 м;
- коэффициенты гидравлических сопротивлений ξ1=ξ2=ξ3= 2,5;
- начальные уровни воды в первом резервуаре 0,0, во втором 8,0, в третьем 10,0, уровень выравнивания зеркал резервуаров 6,0.
Расчет будем производить в течение 1000с, что позволяет проследить все возможные сочетания состояний резервуаров. При этом полагаем, что резервуары включаются в работу одновременно и коэффициенты сопротивлений трубопроводов остаются постоянными во времени.
Результаты расчетов представлены в графическом виде на рис. 5.3.
На этих графиках, в зависимости от направления движения воды в трубопроводах, можно выделить следующие промежутки времени с характерными физическими процессами
- на первом промежутке продолжительностью t1 происходит перетекание воды из второго и третьего резервуаров в первый;
- на втором промежутке продолжительностью t2 расход из третьего резервуара распределяется между первым и вторым резервуаром, который становится питаемым;
- на третьем промежутке продолжительностью t3 первый резервуар переходит в режим питающего резервуара, а питаемым остается только второй;
- на четвертом промежутке продолжительностью t4 наблюдается процесс, обратный процессу, имевшему место на первом промежутке;
- на пятом промежутке продолжительностью t5 второй резервуар питается из первого и третьего;
- на шестом промежутке продолжительностью t6 третий резервуар питает первый и второй;
- седьмой промежуток продолжительностью t7 по физическим процессам аналогичен первому;
- на восьмом промежутке продолжительностью t8 второй резервуар питает первый и третий;
- на девятом промежутке продолжительностью t9 первый и второй резервуары питают третий.
Из совместного рассмотрения графиков (см. рис.5.3.) видно, что переход резервуара из состояния питающего в состояние питаемого происходит после экстремального понижения в нем уровня относительно уровня выравнивания. Переход из состояния питаемого в состояние питающего – при экстремальном повышении в нем уровня относительно уровня выравнивания, что в обоих случаях вызвано действием сил инерции масс воды, находящейся в трубопроводах.
Рис. 5.3. Результаты решения задачи о трех сообщающихся резервуарах
а – графики изменения уровней воды в резервуарах; б – график изменения расхода воды в трубопроводах; в – фрагмент 1