Основные уравнения для определения скоростей и ускорений

Связь между скоростями и ускорениями общих точек звеньев кинематической пары зависит от пары.

Рассмотрим два случая составления векторных уравнений скоростей и ускорений:

а) две точки принадлежат одному звену и удалены друг от друга на расстояние l ( рис.4).

Рис.4

Из теоретической механики известно, что скорость любой точки абсолютно твердого тела можно представить как геометрическую сумму скоростей переносного и относительного движений.

Переносным движением для рассматриваемого звена будем считать поступательное движение со скоростью точки А, а относительным - вращательное движение звена вокруг точки А. Векторное уравнение для скорости точки В:

;

При вращении звена вокруг точки А точка В движется по окружности ββ, описанной из точки А. Поэтому скорость V _BA направлена по касательной к дуге ββ, т.е. перпендикулярна линии АВ.

Величина скорости V_BA=ω·АВ или V_BA=ω· .

По направлению V _BA можно найти направление ω и наоборот.

Т.к. переносное движение выбрано поступательным, то ускорение точки В можно составить из 2-х ускорений: ускорения точки А и ускорения точки В при вращении звена вокруг точки А.

При движении точки В по окружности ββ ускорение W_BA складывается из 2-х ускорений: нормального , направленного к центру вращения, и тангенциального , направленного по касательной к дуге ββ, т.е. перпендикулярно линии АВ. Векторное уравнение для ускорения точки В:

;

Величины ускорений и определяем по формулам:

= ·ω²= ;

где: ε - угловое ускорение;

б) две точки принадлежат двум звеньям, образующим поступательную пару и в данный момент времени совпадают (рис.5).

Рис.5

Точка А принадлежит звену 1, точка В - звену 2. В данный момент времени точки А и В совпадают (точка В лежит над точкой А). Звенья 1 и 2 образуют поступательную пару с направляющей Н₁₂.

Скорость точки В складывается из 2-х скоростей - переносной и относительной. Переносным движением здесь является движение звена 1, поэтому скорость точки А - V _A будет переносной. Относительная скорость точки В равна скорости движения звена 2 относительно звена 1. При движении звена 2 относительно звена 1 точка В движется по прямой линии ββ, параллельной направляющей Н₁₂. Поэтому относительная скорость V _ВА параллельна Н₁₂.

Ускорение точки В, когда переносное движение не является поступательным, складывается из 3-х ускорений: переносного, т.е. ускорения точки А, относительного и поворотного, или Кориолисова. В относительном движении точка В движется по линии ββ, поэтому в этом движении точка В имеет только тангенциальное ускорение, направленное по этой линии, т.е. параллельно направляющей Н₁₂. Обозначим это ускорение через . Поворотное (Кориолисово) ускорение обозначим через .

Векторные уравнения для скорости и ускорения точки В будут иметь вид:

Так как звенья 1 и 2 образуют поступательную пару, то они не имеют относительного вращения. Поэтому эти звенья обладают одинаковыми угловыми скоростями и угловыми ускорениями, т.е.: ω₂=ω₁ и ε₂=ε₁, где ω_{1 -}угловая скорость переносного движения (вращения звена 1).

Вектор направлен в ту сторону, в которую окажется направленным вектор , если повернуть его на 90⁰ в направлении угловой скорости ω₁. Величина его определяется по формуле:

Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-ползунного механизма.

Дан план механизма, размеры ℓ_ОА, ℓ_АВ, ω₂, ε₂.

Найдем скорость и ускорение звена 4 (точки В) и угловые скорость и ускорение звена 3 (шатуна).

Рис.6

Зная ω₂, находим V_А=ℓ_ОА·ω₂. Скорость V_А изобразим на плане скоростей в виде отрезка "P а ", перпендикулярного ОА (рис.7). Поршень (звено 4) движется поступательно, поэтому все его точки имеют ту же скорость и то же ускорение, что и точка В.

Рис.7 Рис.8

Однако точка В принадлежит не только звену 4, но и звену 3. Точно также точка А есть общая точка для звеньев 2 и 3. Таким образом, на звене 3 имеются две точки А и В, удаленные друг от друга на расстояние ℓ_АВ. Поэтому скорость точки В:

где: ║ ;

В соответствии с этим уравнением строим план скоростей. Проводим через точку а линию, перпендикулярную к АВ, а через точку Р - линию перпендикулярную Н₄₁. В точке пересечения ставим в. Отрезок Р в изображает скорость точки В, а отрезок ав - скорость точки В относительно А (V _ВА). Угловую скорость звена 3 находим по формуле:

Перенеся вектор в точку В, находим направление ω₃ (против часовой стрелки).

Ускорение точки А:

где: и ;

Отложив от полюса (рис.8) ускорение и в виде отрезков и , находим полное ускорение точки А (отрезок ).

Ускорение точки В:

где: ; ║ и АВ;

Ускорение направлено от точки В к точке А. Отложив от точки а^′ ( на плане ускорений) отрезок а^′в^′′, соответствующий , проводим через точку в^′′ линию, перпендикулярную АВ. Через полюс Р ^′ проводим линию, параллельную Н₄₁. Эти линии пересекаются в точке в^′, отрезок Р ^′в^′ представляет искомое ускорение точки В (W_B), а отрезок в^′′в^′ - ускорение . Из сопоставления направлений W_B и V_B заключаем, что звено 4 в данный момент движется замедленно.