Учебный модуль 7. Последовательности и ряды. Тема 16. Функциональные ряды

 

ЛЕКЦИЯ 16. Степенные ряды.                                      

 

Функциональным   рядом называется ряд, членами которого являются функции от аргумента   x

u ₁(x) + u ₂(x) + u ₃(x) +... + u_n (x) +... =                                          (16.1)

Слагаемое называют общим членом ряда. Если в членах ряда (16.1) зафиксировать значение аргумента x = x ₀, то получим числовой ряд

 

u ₁(x ₀) + u ₂(x ₀) + u ₃(x ₀) + u_n (x ₀) +....                                                    (16.2)

 

Если при x = x ₀ числовой ряд (16.2) сходится, то x ₀ называется точкой сходимости ряда (16.1).

Областью сходимости  функционального ряда называется множество всех точек сходимости этого ряда. Если значение x ₀ принадлежит области сходимости ряда (16.1), то можно говорить о сумме этого ряда в точке x = x ₀:

 

u ₁(x ₀) + u ₂(x ₀) + u ₃(x ₀) + u_n (x ₀)... = S (x ₀).

 

Значение суммы функционального ряда зависит от значения переменной x, т.е. сумма функционального ряда S (x) является функцией переменной x.

Частичной суммой   называется сумма первых n членов ряда, т.е.

 

Разность между рядом и его частичной суммой называется остатком ряда и обозначается .

или

Степенным рядом  по степеням x называется функциональный ряд вида

                                  (16.3)

 

где а ₀, а ₁,... а_n,... не зависят от x и называются коэффициентами ряда. - общий член ряда, - свободный член.

Степенной ряд (16.3) всегда сходится, по крайней мере, в точке x = 0. При любых конкретных x = x ₀  ряд (16.3) становится числовым рядом

                              (16.4)

 

Степенной ряд (16.4) сходится в точке x ₀ абсолютно, если сходится ряд, образованный из модулей членов числового ряда

 

 

Теорема Абеля сходимости степенных рядов.

Если степенной ряд сходится в точке , то он будет сходится и для всех , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. Возьмем степенной ряд и напишем ряд, составленный из модулей

 

В каждом слагаемом умножим и поделим на

Сгруппируем слагаемые и учтем, что модуль произведения равен произведению модулей

 

 

Точка  является точкой сходимости ряда, общий член сходящегося числового ряда, следовательно, по необходимому условию сходимости рядов , когда . Следовательно, обязательно существует такой положительное число М, что  для всех , т.е. все члены сходящегося ряда будут меньше числа М. Заменим все  на М, тогда получим

 

Получили геометрический ряд со знаменателем . Такой ряд сходится, если выполнено условие   или .  Теорема доказана.

Найдем предельный интервал сходимости ряда (16.3), используя признак Даламбера для положительных числовых рядов. По этому признаку ряд (16.3) сходится, если

Следовательно, ряд (16.3) заведомо сходится если  

и расходится при . Величина

                                                                                    (16.5)

называется радиусом сходимости  степенного ряда (16.3). Ряд заведомо сходится в интервале ½ x ½ < R или - R < x < R, который называется интервалом сходимости. Признак Даламбера ничего не говорит о сходимости ряда в точках х =  В этих точках сходимость ряда надо исследовать отдельно.

Исследовать степенной ряд на сходимость означает найти его интервал сходимости и установить сходимость или расходимость ряда в граничных точках интервала, т.е. при x = R и x = -R. Присоединив граничные точки, в которых ряд сходится, к интервалу сходимости получим область сходимости степенного ряда.

 

Пример 1. Найти область сходимости ряда

Решение. . Используя формулу (16.5), получим

Интервал сходимости данного ряда характеризуется неравенством ½ x ½ < 2. Исследуем сходимость ряда в граничных точках x = ± 2. Подставим x = ± 2 в исходный ряд, получим два числовых ряда

И

Оба эти ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости численных рядов , а не к нулю. Следовательно, область сходимости данного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости.

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Так как , то

то ряд сходится при всех конечных значениях x, т.е. -¥ < x <¥.

Пример. Найти область сходимости ряда

 

,

так как при .

Интервал сходимости  или . Исследуем отдельно точки . При исходный степенной ряд имеет вид

,

Этот ряд относится к обобщенным гармоническим и, как было показано в предыдущем разделе, он расходится.

При . Это знакочередующийся ряд. Его сходимость проверяется по теореме Лейбница.

>   и , если .

Ряд сходится. Область сходимости  или .

Основные свойства степенных рядов.

1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной x:

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:

3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы сходимости не меняются.

Пример. Найти сумму ряда

                                                            (16.6)

Решение. Найдем сначала интервал сходимости этого ряда ,

Следовательно, интервал сходимости ряда (-1, +1). Продифференцировав (16.6), имеем

S¢ (x) = 1 + x + x ² +... + xⁿ  +....

Правая часть этого выражения - геометрический ряд q = x, который сходится при ½ x ½< 1. Поэтому, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии, получим

Отсюда сумму исходного ряда найдем интегрированием

Найдем C. Из (16.6) следует, что S (0) = 0. Следовательно,

 0 = - ln (1-0) + C, C = 0.

Таким образом, S (x) = - ln (1- x) = .

 

Ряды по степеням (х – а). Наряду со степенными рядами относительно переменной х часто рассматривают степенные ряды по переменной (x-a), т.е. ряды вида

 

                                       (16.7)

 

Этот ряд подстановкой y = (x - a) превращается в ряд типа (16.3). Поэтому, если степенной ряд (16.3) имеет интервал сходимости - R < x < R, то соответствующий ряд вида (16.7) имеет интервал сходимости (a - R) < x < (a + R), центр которого расположен в точке x = a.

Пример. Найти интервал сходимости следующего ряда

 

Решение. Найдем радиус сходимости ряда. ,

Отсюда -1 < (х ³ -1) < 1 или 0 < x ³  < 2.

Следовательно, интервал сходимости ряда 0 < x < .

 

Ряд Тейлора. Пусть функция f (x) в точке х = а имеет производные любого порядка. Если  имеется сходящийся степенной ряд

=               (16.8)

сумма которого равна функции f (x), т.е.

,                                                                    (16.9)

то найдем коэффициенты такого ряда. Очевидно, что f (a) = а ₀. Продифференцировав (16.9) в точке х = а, имеем а ₁= f ¢(a). Продифференцировав (16.9) в точке х=а дважды, получим 2 а ₂ = f ¢¢(a) или . Продолжая дифференцирование, можно убедится, что коэффициенты ряда (16.9) находятся по формуле , где  производная порядка   вычисленная в точке а.

Степенной ряд вида

                 (16.10)

 

называется рядом Тейлора  для функции f (x).

В частном случае при a = 0 ряд Тейлора имеет вид

f (x) =                                    (16.11)

 

и его называют рядом МакЛорена.

При помощи рядов Тейлора и МакЛорена можно вычислить значение любой функции в точке с необходимой точностью.

Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию f (x) = e^x.

Поскольку e^x =(e^x)¢=(e^x)¢¢ =...(e^x)^{[ n ]}, то при x = 0 для f (x)= e^x имеем

f (0) = 1; f ¢(0) = 1; f ¢¢(0) = 1;...; f ^{[ n ]}(0) = 1;....

Следовательно, ряд Тейлора функции y = e^x в окрестности точки x =0 имеет вид

e^x =                                                      (16.12)

Ряд (16.10) сходится на всей числовой оси к функции y = e^x (см. пример 2). Вычислим по формуле (16.10) . Подставим в (16.12)

По четырем первым слагаемым мы получили ответ с точностью до тысячных.

Пример. Разложить в ряд МакЛорена функцию f (x) = sin x.

Решение. Для функции sin x имеем:

…

В точке ноль а = 0

 

Следовательно, ряд МакЛорена для sin x:

или

Аналогично получается разложение для функции cos x:

или

cos x = .

Подобным образом можно получить разложения в ряд Тейлора и многих других функций.