Разветвленная электрическая цепь. Правила Кирхгофа

До сих пор мы рассматривали простейшие электрические цепи, состоящие только из одного замкнутого проводящего контура (рис. 6.5). Такие цепи называются неразветвленными. На всех участках неразветвленной цепи силы тока одинаковы. Расчет неразветвленных цепей (т. е. определение силы тока, э. д. с. и сопротивления) легко выполняется с помощью законов Ома (5.15) и (6.13).

Более сложной является разветвленная электрическая цепь. Она состоит из нескольких замкнутых проводящих контуров (ABCA, ACDA и тд.), имеющих общие участки; в каждом контуре может быть несколько источников тока (рис.6.6). Силы тока на отдельных участках замкнутого контура разветвленной цепи могут быть различными

Рис. 6.5

Рис. 6.6

как по величине, так и по направлению (см., например, контур АВСА). Непосредственный расчет разветвленной цепи по законам Ома затруднителен, но может быть значительно упрощен применением правил Кирхгофа (сформулированных в 1847 г. Кирхгофом).

Назовем узлами разветвлений такие точки цепи, в которых сходится не менее трех проводников (например, точка А на рис. 6.6). При этом ток, входящий в узел, будем считать положительным, а ток, выходящий из узла, — отрицательным. Первое правило Кирхгофа утверждает, что

алгебраическая сумма сил тока в узле разветвления равна нулю:

                                                 (6.26)             

Соотношение (6.26) выражает тот факт, что при постоянном токе не происходит накопления зарядов в узлах (потенциалы узлов остаются неизменными). Следовательно, за единицу времени одинаковое количество электричества входит в узел и выходит из него.

Применительно к узлу А первое правило Кирхгофа запишется так:

Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам разветвленной цепи. Условимся считать положительным направление обхода контура по часовой стрелке. Для контура АВСА оно указано прерывистой линией со стрелкой. Токи, идущие в положительном направлении обхода, будем считать положительными, противоположные токи — отрицательными. Точно так же будем приписывать электродвижущим силам знак плюс, если они создают ток в положительном направлении обхода контура; в противном случае будем приписывать электродвижущим силам знак минус. Второе правило Кирхгофа утверждает, что

в замкнутом контуре разветвленной цепи алгебраическая сумма э.д.с. источников тока равна алгебраической сумме произведений сил тока на сопротивления соответствующих участков этого контура:

                                           (6.27)

Соотношение (6.27) является обобщением закона Ома (5.13) на случай контура разветвленной цепи, содержащей несколько источников тока. Отметим, что, не будучи связанным с постоянством тока, второе правило Кирхгофа применимо также и к цепи переменного тока.

При расчете разветвленной цепи надо, пользуясь правилами Кирхгофа, составить независимые уравнения для нескольких узлов (6.26) и контуров (6.27); число уравнений должно равняться числу искомых величин (сил тока, э. д. с. и сопротивлений). Для составления независимых уравнений надо использовать только такие контуры, которые различаются хотя бы одним участком, и только такие узлы, которые различаются хотя бы одной силой тока. Направления искомых сил тока выбираются произвольным образом. Если направление, принятое для какой-либо из сил тока, не соответствует действительному, то в результате расчета по правилам Кирхгофа эта сила получится отрицательной.

Пользуясь правилами Кирхгофа, легко рассчитать сопротивление цепи, составленной из нескольких

Рис. 6.7

(например, трех) проводников, соединенных параллельно (рис. 6.7). Для контура, не содержащего э. д. с., можем написать

откуда

Следовательно, силы токов в параллельно соединенных проводниках обратно пропорциональны сопротивлениям проводников. Для узла А

но, согласно закону Ома,

где U - напряжение, приложенное к проводникам; R - полное сопротивление параллельно соединенных проводников. Тогда получим

откуда

Данный вывод справедлив для любого числа проводников. Поэтому

т. е. полная проводимость параллельного соединения проводников равна сумме проводимостей отдельных проводников. Таким образом, при параллельном соединении нескольких проводников их общая проводимость больше проводимости каждого отдельного проводника, а общее сопротивление меньше сопротивления каждого отдельного проводника.