Образовательное учреждение высшего образования

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Факультет
 физико-математических и естественных наук

 Кафедра
 «Информатика и методика обучения информатике и математике»

 

Направление подготовки Профиль 44.03.01 «Педагогическое образование» «Математика»

Контрольная работа по

МЕТОДИКЕ ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (МАТЕМАТИКА)

 

Выполнил: студент гр. 17 ЗФПМ51

Чиркова Е.А

Методист: Марина Е.В.

---------------------------------

(оценка, подпись)

 

Пенза 2020 г.

Вариант №8

1. Математические предложения. Теоремы, их виды. Необходимые и достаточные условия. Приведите примеры из школьных учебников.

Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде предложений.
Математические предложения либо принимаются за истинные без доказательства и тогда являются аксиомами, либо их истинность устанавливается после соответствующего логического обоснования – доказательства. В этом случае математическое предложение называется теоремой.

Термин «Теорема» происходит от греческого слова «Τεορεμα» – представление, зрелище, так как в древности часто теоремы доказывались публично, на площадях. Доказательства носили характер спора, диспута.

     Структура теоремы. Теорема состоит из двух основных частей – условия и заключения; на языке логики p Þ q, где р – условие, q – заключение, Þ знак следования.

Для словесного выражения теоремы обычно используют две формы суждений.

1. Категорическую.

Пример. Формулировка теоремы Пифагора: “Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы” ;1

2. Условную.

Пример. Признак равенства треугольников: “Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Таким образом, в условной форме используется словесная модель “Если..., то...”, которая с методической точки зрения значительно удобнее категорической: в ней уже выделены условие (то, что следует за словом “если”) и заключение (то, что следует за словом “то”).

Форма суждений достаточно легко меняется без изменения их содержания. Учителю следует упражнять учащихся в переводе категорической формы в условную, так как это один из эффективных приемов выделения условия и заключения теоремы.

Виды теорем. Имея некоторую теорему 1) p Þ q и считая ее прямой, можно образовать следующие виды теорем:

2) q Þ р – обратная,

3) 2 – противоположная,

4) – обратная противоположной.

Пример. Теорема: “Вертикальные углы равны”. Переведем категорическую форму в условную: 1) Если углы вертикальны, то они равны;

2) Если углы равны, то они вертикальны,

3) Если углы не вертикальны, то они не равны;

4) Если углы не равны, то они не вертикальны .

Нетрудно убедиться, что теоремы 1 и 4, а также 2 и 3 равносильны (если истинна одна, то истинна и другая), чего не скажешь о других парах.

В курсе планиметрии изучаются только прямые и обратные теоремы. Учителю необходимо специально поработать над этими понятиями, так как учащиеся часто ссылаются на обратную теорему вместо прямой и наоборот (особенно часто так используют теоремы Виета и Пифагора и обратные им).

С понятиями прямой и обратной теорем тесно связаны необходимые и достаточные условия. Однако мы опустим этот материал, так как в курсе планиметрии необходимые и достаточные условия явно не используются.

Теоремы можно классифицировать также по характеру их использования в курсе геометрии. С этой точки зрения принято выделять:

1) теоремы существования, которые утверждают существование того или иного объекта;

2) теоремы единственности, которые утверждают, что существующий объект единственен;

3) теоремы-признаки, определяющие условия, при которых рассматриваемый объект относится к определенному классу объектов;

4) теоремы-свойства, которые описывают свойства данного объекта.

В школьном курсе планиметрии явно не изучаются теоремы существования и единственности. Поэтому приведем примеры только теорем-признаков и теорем-свойств.

Пример 1. Теорема-признак: “Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны” .

Пример 2. Теорема-свойство: “В равных треугольниках против равных сторон лежат и равные углы” .

Теоремы-признаки и теоремы-свойства играют очень большую роль в изучении планиметрии, так как имеют различные функции.

Не вдаваясь в тонкости этой классификации, учитель должен специально выделять теоремы-признаки, подчеркивая, что с их помощью можно определить, принадлежит ли фигура, обладающая теми или иными свойствами, к определенному классу фигур.
Необходимые и достаточные условия фигурируют в математических рассуждениях очень часто, и данную терминологию вам нужно усвоить раз и навсегда уже сейчас. Для этого имеются как минимум три причины.

 Во-первых, с необходимыми и достаточными условиями вы постоянно встречаетесь в геометрии. А именно, необходимое условие есть свойство, а достаточное условие есть признак.

Во-вторых, с понятиями необходимости и достаточности приходится часто оперировать в сложных задачах с параметрами.

В-третьих, подготовленность к восприятию курса высшей математики (в первую очередь — математического анализа). Необходимые и достаточные условия там присутствуют на каждом шагу.

Давайте разбираться с необходимыми и достаточными условиями. Пусть у нас имеются два высказывания, которые мы обозначим A и B. Например: A:= четырёхугольник является квадратом. B:= четырёхугольник является ромбом. Из двух высказываний A и B мы можем образовать новое высказывание, которое читается так: «если A, то B». Оно называется импликацией и обозначается A ⇒ B. В нашем примере импликация выглядит следующим образом: A ⇒ B:= если четырёхугольник является квадратом, то он является ромбом. (1) Это утверждение верно. Действительно, квадрат есть частный случай ромба. Мы можем образовать и обратную импликацию: B ⇒ A:= если четырёхугольник является ромбом, то он является квадратом. Это утверждение неверно.

Конечно же, произвольный ромб вовсе не обязан являться квадратом. Определение. Пусть импликация A ⇒ B верна. Тогда B называется необходимым условием для A; в то же время A называется достаточным условием для B. Давайте взглянем ещё раз на верную импликацию (1). В соответствии с определением мы видим, что «быть ромбом» — это необходимое условие для «быть квадратом»; для того, чтобы четырёхугольник являлся квадратом, необходимо, чтобы он являлся ромбом.

В то же время «быть квадратом» — это достаточное условие для «быть ромбом»; для того, чтобы четырёхугольник являлся ромбом, достаточно, чтобы он являлся квадратом. Если четырёхугольник — квадрат, то он и подавно ромб. В привычной терминологии школьной геометрии необходимое условие называется свойством, а достаточное условие — признаком

Некоторые математические утверждения имеют вид необходимых и достаточных условий одновременно. Наш пример с квадратом и ромбом тут не годится, поэтому «сменим пластинку». Возьмём теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Сформулируем её немного по-другому. Теорема Пифагора. Если треугольник является прямоугольным, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны. Обратите внимание: мы придали теореме форму импликации A ⇒ B, где A:= треугольник является прямоугольным, B:= сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны. Теперь мы уже владеем терминологией и можем сформулировать теорему Пифагора так: для того, чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо, чтобы сумма квадратов двух его сторон равнялась квадрату третьей стороны. Здесь замечательно то, что обратная импликация B ⇒ A также верна! Обратная теорема Пифагора. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным. Иными словами, обратную теорему Пифагора можно сформулировать так: для того, чтобы треугольник был прямоугольным, достаточно, чтобы сумма квадратов двух его сторон равнялась квадрату третьей стороны. 2 Когда истинны обе импликации A ⇒ B и B ⇒ A, мы называем высказывания A и B равносильными или эквивалентными. В таком случае верно утверждение A ⇔ B, то есть оба высказывания A и B следуют друг из друга. Эквивалентность высказываний описывается выражениями: необходимо и достаточно; тогда и только тогда; если и только если; в том и только в том случае, если1.

Например, прямую и обратную теорему Пифагора можно объединить в одно утверждение следующими способами: — Для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух его сторон равнялась квадрату третьей стороны. — Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны. — Треугольник является прямоугольным, если и только если сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны. — Треугольник является прямоугольным в том и только в том случае, если сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны.

Необходимое и достаточное условие называется также критерием. Таким образом, критерий фактически состоит из двух утверждений, одно из которых является необходимым условием, а другое — достаточным