Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Теорема о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка. Теорема о наложении частных решений.

 

 – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами

Теорема (о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка).

Пусть  – частное решение ЛНДУ . Тогда

Док-во: нужно доказать, что  такие, что функция  – решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям

.

Решение задачи Коши существует и определено на  в силу теоремы существования. Рассмотрим разность :

Т.е.  – решение ЛОДУ;  – ФСР ЛОДУ;

Теорема (о наложении частных решений).

Пусть  – частное решение ЛНДУ; ;  – частное решение ЛНДУ; . Тогда  – частное решение ЛНДУ

Док-во:

 

Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

 

Пусть  – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

  –  квазимногочлен;

 – многочлен степени ;

 

Тогда  частное решение ЛНДУ (2.12.1) вида

,

 – многочлен степени ; , если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ; если  – корень, то  равен кратности корня .

Замечание. Коэффициенты  - неопределенные (заранее не известные), находятся методом неопределенных коэффициентов.

Пример 1.

Соответствующее ЛОДУ: ,

Найдем .

;

 – корень характеристического уравнения ЛОДУ кратности

,

,

,

Чтобы найти  и , подставим функцию в ЛНДУ:

,

,

,

.

Коэффициент при  2

Коэффициент при .

Получаем СЛАУ относительно  и

Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами

 – многочлен степени ;

 – многочлен степени ;

Тогда

;  – многочлены степени ;

, если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ;  равен кратности корня, если  является корнем.

Пример 1.

( уравнение колебаний при наличии внешней периодической силы частоты ).

.

,

,

,
.

.

Найдем .

,

( частота внешней силы равна собственной частоте резонанс, амплитуда колебаний неограниченно возрастает ).

Чтобы найти  и , подставим в ЛНДУ:

.

Коэффициент при

Коэффициент при

Пример 2.

,

,

,

,

,

,

Чтобы найти  и , подствим в ЛНДУ:

Коэффициент при .

Коэффициент при .

 

 

Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).

 

Пусть  – линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. Рассмотрим ЛНДУ:

Соответствующее ЛОДУ:

Общее решение ЛОДУ:

.

 – ФСР ЛОДУ,

 – произвольные постоянные.

Теорема. Общее решение ЛНДУ () имеет вид

,

 – ФСР соответствующего ЛОДУ,

производные функций  определяются из СЛАУ

Замечание 1. СЛАУ (2.13.2) имеет единственное решение для , т.к. ее определитель  ().

Замечание 2.  Функций

Тогда

,

  – произвольные постоянные.

Док-во (случай ). Рассмотрим ЛНДУ

 – линейный дифференциальный оператор 2-го порядка.

 – произвольные постоянные

СЛАУ (2.13.2) имеет вид

, или

.

1. Покажем, что если  и  удовлетворяют (2.13.3), то функция  – решение ЛНДУ (2.13.1).

  в силу (2.13.3)).

 в силу (2.13.3)).

Тогда

Таким образом  – решение ЛНДУ (2.13.1).

2. Решив СЛАУ (2.13.3), получим решение вида

.

Покажем, что для , такие, что решение , соответствующее  и , удовлетворяет начальным условиям

.

Для  и  получим систему

- СЛАУ с определителем , т.к.  – ФСР ЛОДУ,

т.е.  – общее решение.

Пример.

(метод неопределенных коэффициентов неприменим!).

Соответствующее ЛОДУ:

,

,

,

,

,

,

,

 

,