Задачи на нахождение четвертого пропорционального

Решение задач с пропорциональными величинами.

Все составные задачи в курсе математики начальных классов можно условно поделить на две группы.

Составные задачи:

Типовые	Нетиповые
-На нахождение четвертого пропорционального -На пропорциональное деление или на нахождение неизвестного по двум суммам -На нахождение неизвестного по двум разностям -На движение	Все остальные задачи, которые не подходят ни под один из типов, называют нетиповыми. Их классифицируют по видам простых задач, входящих в них.

 

При решении типовых задач учащиеся знакомятся с тройками пропорциональных величин. Их решение позволяет осуществлять пропедевтику понятий «прямая и обратная пропорциональная зависимость», которые будут изучаться в средней школе.

В начальных классах такая терминология не вводиться, мы говорим лишь о тройках пропорциональных величин, учим детей выделять их в задаче и разбираем, как эти величины взаимосвязаны.

В каждой из троек величин выделяют:

1 ) единицу – т.е. величину, которая повторяется несколько раз;

2) количество повторений единицы;

3) общее значение величины.

Детей знакомят с такими основными тройками, как:

· Цена – количество – стоимость;

· Масса одного предмета – количество предметов – общая масса;

· Емкость (объем) одного сосуда – количество сосудов – общая емкость (объем);

· Расход ткани на 1 вещь – количество вещей – общий расход ткани;

· Выработка в единицу времени (производительность) – время работы – общая выработка;

· Скорость – время – расстояние;

· Длина – ширина – площадь

и т.д.

Кроме этих троек величин в задачах встречаются и другие. Например:

Количество клубков на 1 свитер – количество свитеров – общее количество клубков.

С этими тройками величин учащиеся начинают знакомиться в 3 классе при изучении темы «умножение и деление». 

Взаимосвязи между величинами в тройке отражается в трех видах простых задач:

1. Нахождение общей величины (умножение);

2. Нахождение единицы (деление);

3. Нахождение количества (деление).

На подготовительном этапе в 3 классе учащихся начинают знакомить с этими тройками величин. Обычно в качестве первой берут тройку «цена – количество – стоимость». Организуют дидактическую игру «в магазин» (канцелярский). Учитель выставляет у доски «товар» и на каждый предмет прикрепляет ценник. Разыгрывают ситуации, в процессе которых вводят понятие «цена» - стоимость одного товара, «количество» - сколько предметов купили, «стоимость» - сколько денег заплатили.

 Составляем тройки взаимообратных задач и учимся их записывать кратко в таблицу.

 

цена	количество	стоимость
2 р.	4 шт.	?
?	4 шт.	8 р.
2 р.	?	8 р.

Таким же образом вводят и другие тройки величин на других уроках (1 тройка величин -1 урок).

При введении лучше использовать практическую работу.

Смотри   М3М ч.1 стр.22,23,27 и т.д.

 

На подготовительном этапе учащиеся должны научиться решать простые задачи с тройками величии разного рода.

Позднее из этих простых задач составляют составные нетиповые задачи в два действия. Например: Мама купила 3 пакета муки по 2 килограмма в каждом и 1 кг яблок. Какова масса всей покупки?

Эту задачу можно разделить на 2 простых.

1 задача – на нахождение общей массы муки с тройкой величин.

2 задача – на нахождение суммы двух величин.

 

 

Задачи на нахождение четвертого пропорционального

 

После подготовительного этапа на специальном уроке в 3 классе впервые вводят задачи на нахождение четвертого пропорционального. Таких задач может быть 6 видов, в каждом из которых одна величина постоянна (одинакова я), а из 4-х значений двух других величин одно значение из четырех возможных неизвестно (4-е пропорциональное), а остальные 3 известны.

Рассмотрим примеры таких задач. (Задачи про покупку ручек Р и тетрадей Т.)

	Цена	Количество	Стоимость
Р Т	одинаковая	2 шт. 4 шт.	? 4 р.
Р Т	одинаковая	2 шт. ?	2 р. 4 р.
Р Т	1 р. 2 р.	одинаковое	? 10 р.
Р Т	1 р. ?	одинаковое	5 р. 10 р.
Р Т	1 р. ?	10 шт. 5 шт.	одинаковая
Р Т	1 р. 2 р.	? 5 шт.	одинаковая

 

Такие задачи отражают прямую и обратно пропорциональную зависимость.

1-4 вид отражают прямопропорциональную зависимость. Например, чем больше цена (количество), тем больше стоимость при постоянном количестве (цене). Их вводят в 3 классе.

5 – 6 вид задач на обратнопропорциональную зависимость.  Например, чем больше цена, тем меньше количество при постоянной стоимости и наоборот. Их вводят в 4 классе.

Представление об этих зависимостях формируется у детей постепенно в процессе решения таких задач.

 Их можно решать двумя способами:

1 способ (основной) – через нахождение постоянной величины.

Например,решим задачу 1го вида из таблицы:

1) 4: 4 = 1 (р.) цена тетради или ручки.

2) 1 ∙ 2 = 2 (р.) стоимость двух ручек.

При решении задачи этим способом полезно опираться на таблицу, т.к. в ней отображена зависимость между тройкой величин.

2 способ – через нахождение коэффициента пропорциональности.

 Здесь опираемся на графическую схему.

     ?

Р. ׀---------׀---------׀

        ?

Т. ׀----------׀---------׀----------׀------ ---׀

                         4 р

1) 4: 2 = 2 (раза) – во столько раз ручек меньше, чем тетрадей.

Рассуждаем устно: т.к. ручек в 2 раза меньше чем тетрадей, а цена тетради и ручки одинакова, то и стоимость всех ручек будет в два раза меньше, чем стоимость всех тетрадей

  2)  4: 2 = 2 (р.) стоимость ручек.

Этот способ решения возможен, если два данных числа кратны друг другу.

 Все задачи на нахождение четвертого пропорционального по программе М.И. Моро вводятся постепенно в 3-4 классах. По мнению авторов, эти задачи нужно вводить друг за другом (с 1 по 6 вид). Работа с каждым видом проводиться в три этапа.

1 этап (1-2- урока) – подготовительная работа – готовим к введению задач этого вида, повторяем зависимости между величинами в тройках и решаем задачи ранее изученных видов.

2 этап (1 урок) – ознакомление с задачами этого вида. Учитель подробно вместе с детьми разбирает, как решают эти задачи. Используя всевозможные виды моделей (реальную, графическую, схематическую и т.д.). В результате дает ученикам образец решения подобных задач. Задачи этого вида могут быть с любой тройкой величин.

3 этап – формирование умения решать задачи данного вида (продолжительный этап). На этом этапе решают множество подобных задач на разных тройках величин, чтобы не сформировать шаблона мышления, рекомендуют включать так же задачи ранее изученных видов.

Анализ учебников по программе М.И. Моро за 3-4 классы показывает, что этот замысел автора реализовался не в полном объеме; задачи 1-2 видов вводятся (М3М ч.1 с.46) таким образом, а методика введения остальных видов задач нарушена, т.к. нет специальных уроков их введения и недостаточно задач этих видов для формирования умения. Чтобы исправить этот недостаток учебника, учитель должен сам построить тематический план ознакомления с задачами каждого из 6 видов (1 вид = 1-2 недели).

Обучая детей решению таких задач, не забываем о формировании общих умений решать задачи (4 группы умений).