2020-06-30
1486
Практическая работа № 8
по теме: «Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса».
Практическая работа предназначена для повторения теоретических и практических знаний по теме.
Цель работы – повторить понятия: тригонометрических функций, радианной меры углов, таблицы значений тригонометрических функций, формулы перевода градусов в радианы и наоборот, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа и подготовится к занятию по теме «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа».
Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Арксинус, арккосинус, арктангенс числа, тест для самоконтроля.
Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Арксинус
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
1. 
2. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. На всей своей протяженности график возрастает.
Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — [0, π].
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
Арктангенс
Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Пример 1. Вычислить значение 
.
Решение. Если обозначить 
, то 
. Из определения функции 
следует, что 
и 
. Так как 
, то 
и 
.
Однако 
, поэтому 
.
Ответ: 
.
Пример 2. Вычислить значение 
.
Решение. Если 
, то 
. Согласно определению функции 
, имеем 
и 
. Так как 
, то 
.
Поскольку 
и 
, то 
.
Ответ: 
.
Пример 3. Вычислить значение 
.
Решение. Пусть 
, тогда 
и 
, где 
. В таком случае 
и 
.
Поскольку 
, то 
.
Ответ: 
.
Пример 4. Вычислить значение 
. Решение. Так как 
, то 
или 
. Обозначим 
, тогда 
, 
. Поскольку 
, то 
.
Если 
, то 
, 
или 
. Однако 
, поэтому 
, 
и 
.
Ответ: 
.
Пример 5. Вычислить значение 
.
Решение. Если положить 
и 
, то 
или
, (1)
где из определения функции 
имеем 
и 
.
Однако 
и 
, поэтому 
и 
. В таком случае 
, 
и 
, 
.
Если 
, то 
, 
или 
. Поскольку 
, то 
.
С учетом того, что 
и 
, имеем 
и 
.
Если 
, то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем 
, 
и 
, 
.
Подставляя значения 
, 
, 
, 
в выражение (1) получаем 
.
Ответ: 
.
Примечание. Так как в примере 5 показано, что 
, где 
, 
и 
, то справедливо равенство
.
Отсюда также следует, что 
.
Пример 6. Вычислить значение 
.
Решение. Из определения функции 
следует, что 
. Из условия примера получаем 
.
Так как 
, то имеем уравнение 
или 
. Далее, принимая во внимание теорему 1, записываем две серии корней уравнения 
вида
и 
,
где 
целые числа. Если положить 
, то из второй серии корней вытекает единственное значение 
, которое удовлетворяет двойному неравенству 
.
Ответ: 
.
Пример 7. Вычислить значение 
.
Решение. По определению функции 
имеем 
. Из условия следует, что 
, 
или
. (2)
Согласно теореме 2, здесь имеем две серии корней уравнения (2):
и 
, где 
целые числа.
Так как , то из первой серии корней при условии, что 
, получаем 
.
Ответ: 
.
Тест по теме Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Найдите значение выражения:
1. аrcsin (- 
)
а) 
; б) 
; в) -
2. arcos (- )
а) - 
; б) 
; в) 
3. arctg 
а) ; б) - ; в) 1
4. arctg 1 + arcos 1
а) 
; б) 0; в)
5. аrcsin (- ) + arcos (- )
а) ; б) ; в) -
6. cos (arcos 
а) 
; б) - ; в) 1
7. arcos (cos )
а) ; б) ; в) -
