Простейшие иррациональные уравнения

РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ТЕМА: Иррациональные уравнения

Цель занятия: научиться решать иррациональные уравнения.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоритический материал, составить краткий конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Приведем примеры иррациональных уравнений:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным.

В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное уравнение. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем

случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала.

Выглядит подобное уравнение так:

где а - некоторое число (константа), f(x) — рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное уравнение, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в уравнении

n - четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то уравнение не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Решение. Справа стоит отрицательное число (- 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х- 5).

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(х). Алгоритм решения тот же самый — необходимо возвести в степень уравнение, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни уравнения не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.