Метод решения относительно одной переменной

А) Выделение целой части

Задача 6. Найти все целочисленные решения уравнения: 2 x ²-2 xy +9 x + y = 2

Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2 xy - y   = 2 x ² +9 x – 2 или

            y (2 x -1) = 2 x ² + 9 x - 2

выделим целую часть дроби

Т.к. у должно быть целым числом, то дробь  также целое, а это значит что число 3 делится на (2 х- 1).  Это числа 1; - 1; 3; - 3.

        Получаем: если 2 x - 1=1, то x = 1, y = 9

                           если 2 x - 1=-1, то x = 0, y = 2

                           если 2 x - 1= 3, то x =2, y = 8

                           если 2 x - 1 = -3, то x = -1, y = 3

Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3)

Б) Использование дискриминанта (неотрицательность)

Задача 7. Решите уравнение 3(x² + xy + y²) = x + 8y в целых числах.

Решение. Рассмотрим уравнение 3x² +3xy +3 y² - x - 8y = 0, как квадратное относительно х: 3 x ² + (3 y −1) x + 3 y ² −8 y = 0. Найдем дискриминант уравнения

D =  (3 y −1)²  - 4∙3∙ (3y² −8y) =  9у² – 6у +1 – 36у² + 96у =  −27 y ² + 90 y +1.

Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27 y ² + 90 y +1≥ 0.

D = 8100 + 108 = 8208,

и - 0, 011 ≤ y ≤ 3,34. Так как y целое, то получаем 0 ≤ y ≤ 3.

Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1).

Ответ: (0;0); (1;1).

 

Метод оценки

а) Приведение к сумме неотрицательных выражений

Задача 8. Решить уравнение в целых числах: x ²+6 xy +13 y ² = 40.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х:                                               

  x ²+6 xy +9 y ²+4 y ² = 40;  или    (x +3 y)²+4 y ² = 40.

Каждое из слагаемых должно не превосходить 40, рассмотрим случай, когда (2 y)² ≤ 40, получили у² ≤ 10, учитывая, что у – целое получим  | y | ≤ 3.

Перебирая значения у,  получим значения

у	-3	-2	-1	0	1	2	3
у2	9	4	1	0	1	4	9
4 у2	36	16	4	0	4	16	36
(x +3 y)²	4	24	36	40	36	24	4
		Не возм		Не возм		Не возм
x +3 y	2		6

 

Системы уравнений:

 

б) Метод «спуска»

Задача 9. Решите уравнение 2 x ² − 5 y ² = 7 в целых числах.

Решение. Так как 2 x ² - четное число, а 7 - нечетное, то 5 y ² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное.

Пусть y = 2 z +1,  где z  - целое, тогда данное уравнение можно переписать в виде

2 x ² − 5(2 z +1)² = 7 или 2 x ² − 20 z ² - 20 z – 5-7 = 0 или   x ² −10 z ² −10 z = 6.

 Так как (10 z ² +10 z) четное, 6 - четное, то х должно быть четным.

 Пусть x = 2 m, тогда последнее уравнение примет вид  4 m ² − 10 z (z +1) = 6 или

                     2 m ² − 5 z (z +1) = 3.

Получаем, что выражения 5 z (z +1) и z (z +1) должны быть нечетны. Рассмотрим выражение z (z +1):

если z – четное, то (z +1) – нечетное и 5 z (z +1) четное

если z – нечетное, то (z +1) – четное и 5 z (z +1) четное.

Получили противоречие. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений