Задача 5. На станцию привезли 420 т.угля в вагонах вместимостью 15т, 20т, 25т. Сколько таких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

Задача 1. Красный карандаш стоит 18 рублей, синий — 14 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 499 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на шесть.

А) Можно ли купить 30 карандашей?

Б) Можно ли купить 33 карандаша?

В) Какое наибольшее число карандашей можно купить?

Решение.

а) Рассмотрим всевозможную комбинацию красных и синих карандашей в покупке, учитывая, что: 1) карандашей должно быть 30 штук,

2) число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на 6,

3) стоимость покупки не превосходит 499 рублей.

Количество карандашей		Стоимость карандашей		Стоимость покупки	Остаток от 499	Добавочное число карандашей
красных	синих	красных	синих
15	15	15*18 = 270	14*15 = 210	490	9	0
14	16	14*18 = 252	14*16 = 224	476	23	+ 1 любой
13	17	13*18 = 234	14*17 = 238	472	27	+1 любой
12	18	12*18 = 216	14*18 = 252	468	31	+ 2 синих

Как видно 30 карандашей на 499 рублей купить можно.

 

б) Рассмотрим комбинацию красных и синих карандашей в покупке, учитывая, что:

1) карандашей должно быть 33 штуки,

2) число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на 6,

3) стоимость покупки не превосходит 499 рублей.

Из таблицы видно, что 33 карандаша при выполнении условий 1 и 2 можно купить, если

Количество карандашей		Стоимость карандашей		Стоимость покупки	Остаток от 499	Добавочное число карандашей
красных	синих	красных	синих
15	18	15*18 = 270	14*18 = 252	522	- 23	0
14	19	14*18 = 252	14*19 = 266	518	- 19	+ 1 любой
13	20	число синих карандашей больше числа красных карандашей на 7

Но тогда стоимость покупки превысит 499 рублей. Следовательно, 33 карандаша купить нельзя.

в) Конечно, задачу можно решить перебором вариантов. Рассмотрим другой способ решения задачи.

 Пусть n - число синих карандашей, и m - число красных карандашей. Тогда условие 2) имеет вид , условие 3) примет вид , числа

Нас интересует общее число карандашей в покупке, то есть t = m + n, тогда  t – 2m = m +n – 2m, t – 2m = n – m, 2m - t = m – n. Условия 2) и 3) примут вид:

или

Тогда получаем:

   

Получаем t = 31. Можно купить не больше 31 карандаша. Осталось проверить, возможен ли случай. Из первой таблицы видно, что условиям 2) и 3) удовлетворяют следующие варианты

Количество карандашей		Стоимость карандашей		Стоимость покупки	Остаток от 499	Всего карандашей
красных	синих	красных	синих
14	17	14*18 = 252	14*17 = 238	490	9	31
13	18	13*18 = 234	14*18 = 252	486	13	31

Ответ: а) да; б) нет; в) 31 карандаш

Задачи для самостоятельного решения.

1. Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять.

а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?

б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?

в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при таких условиях?

Задача 2. Докажите, что для любых натуральных чисел n и m существуют целые числа p и q, такие что НОД(n, m) = pn + qm.

Решение: убедимся, что любой общий делитель всякой пары натуральных чисел (n, m) является также общим делителем пары (m, n - m): если уменьшаемое делится на число k, то оно имеет вид m = bk, тогда   

n – m = ak – bk = (a – b)k 

то есть их разность тоже делится на k.

Аналогично доказывается, что любой общий делитель пары (m, n - m) является общим делителем пары (n, m), следовательно:

НОД(n, m) = НОД(m, n - m)

Пусть n > m. Можно свести НОД(n, m) к наибольшему общему делителю другой пары чисел, в которой наибольшее из чисел окажется меньше, чем n, а именно:  НОД(n, m) = НОД(m, n - m).

Таким образом, можно получить последовательность равенств вида … = НОД(k; 0) или вида 

… = НОД(k; k), но НОД(k; k) = НОД (k; 0).

Такую последовательность действительно можно получить, так как при n > m и n > n – m, то есть в равенстве НОД(n, m) = НОД(m, n - m) максимум из чисел под знаком НОД в правой части с каждым таким шагом уменьшается по крайней мере на один. Числа n и m конечны, следовательно, через конечное число преобразований можно получить цепочку равенств вида

… = НОД(k; 0) = k.

 

Задача 3. Строительная компания получила заказ на строительство 60 двухэтажных и 20 трехэтажных коттеджных домов. Каждая из 22 строительных бригад затрачивает на строительство 5 двухэтажных домов время, за которое она могла бы построить 3 трехэтажных. Сколько бригад следует выделить для строительства домов каждого типа, чтобы выполнить заказ за наименьшее время при условии, что все бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята строительством домов одного типа?

Решение:

х - время, затрачиваемое одной бригадой на строительство одного двухэтажного коттеджа

у - время, затрачиваемое одной бригадой на строительство одного трехэтажного коттеджа

а - количество бригад, строивших двухэтажные дома.

Тогда:

(22 – а) - количество бригад, строивших трехэтажные дома

60х / а - время, за которое будут построены все двухэтажные дома

20у /(22 – а) - время, за которое будут построены все трехэтажные дома

По условию задачи «каждая из 22 строительных бригад затрачивает на строительство 5 двухэтажных домов время, за которое она могла бы построить 3 трехэтажных», то есть 5х = 3у.

Требуется найти такое распределение бригад для строительства каждого типа домов, чтобы время выполнения заказа было наименьшим. Введем функции:

t1 = 60х/а и t2 = 20у/(22 – а) Нам нужно найти точку, координаты которой удовлетворяют каждой из функций, то есть t1 = t2

 

Тогда получаем

или (22 – а) 36у = 20ау или (22 – а) 18у = 10ау или 396 = 28 а или

так как а целое число, то а = 14, 22 – а = 22 – 14 = 8

Ответ: 14 и 8 бригад

Задача 4.   Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки по 2 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 шариков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 3 пакетика, а коробок потребуется на 2 меньше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решение: В первом случае в каждой коробке лежит по 2 пакетика, и таких коробок пусть будет х, а в каждом пакетике находится по а шариков. Во втором случае коробок будет на две меньше, то есть х - 2, пакетиков в коробке 3, а шариков в пакетике на пять меньше, то есть а – 5.   

Из условия задачи получаем всего шариков будет 2ха для первого случая и 3(а – 5)(х – 2) для второго случая. Получаем уравнение

2ха = 3(а – 5)(х – 2).

 Это уравнение в целых числах. Выразим а (количество шариков в пакетике).

2ха = 3ах – 15х - 6а + 30 или - ах + 6а = - 15х + 30 или а(6 – х) = 30 – 15х или

 

число шариков и коробок выражаются натуральными числами, поэтому выражение (х – 6) должно быть делителем 60. Рассмотрим таблицу

Делители 60	1	2	3	4	5	6	10	12	15	20	30
Х = делитель +6	7	8	9	10	11	12	16	18	21	26	36
а = Число шариков в пакете	75	45	35	30	27	25	21	20	19	18	17
Число шариков 2ах	1050	720	630	600	594	600	672	720	798	936	1224

Следовательно, наибольшее количество шариков равно 1224.

Задача 5. На станцию привезли 420 т.угля в вагонах вместимостью 15т, 20т, 25т. Сколько таких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?

Решение: Пусть

х -  использовано вагонов вместимостью 15т.

у- использовано вагонов вместимостью 20т.

z - использовано вагонов вместимостью 25т.

Тогда всего вагонов будет х + у + z = 27.

Всего угля привезли 15х + 20у + 25z = 420

Выразим из первого уравнения переменную х: х = 27 – у – z и подставим во второе. Получаем:

15(27 – у – z) + 20у + 25z = 420

405 - 15у – 15z + 20у + 25z = 420

5у + 10z = 15 или у + 2z = 3

Учитывая, что х, у, z натуральные числа, то уравнение в целых числах имеет единственное решение (1;1). Тогда х = 15, у = 1, z = 1.

Следовательно: было использовано 25 вагонов вместимостью 15т, 1 вагон вме-

стимостью 20т и 1 вагон вместимостью в 25 т.

ответ (15; 1;1)

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Родительский комитет закупил на 750 рублей тетради по цене 35 рублей и ручки по цене 25 рублей. Сколько было куплено тетрадей и ручек,если ручек было куплено больше, чем тетрадей, а разница между количествомручек и тетрадей наименьшая. Ответ:16 ручек, 10 тетрадей.

Задача 2. На празднике всем ребятам раздали подарки, в которые был положены 350 мандаринов по 3мандарина или по 4 мандарина в подарок. Сколькобыло подарков, если подарков, в которых находятся 3 мандарина больше 47 и меньше 53. Ответ:100.

Ответы на задания высылать на электронную почту
ddut_maths@rambler.ru

Часть 2. Нелинейные уравнения в целых числах.