Вывод формулы Жуковского

 

Величину ударного давления  можно найти, учитывая, что кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформации стенок трубы и жидкости. Кинетическая энергия жидкости в трубе радиусом , длиной  и толщиной стенки  будет равна:

 

.

 

Работа деформации стенок трубы составляет половину произведения силы на удлинение. Выражая работу деформации стенок трубы как работу сил давления на пути  (рис. 2), получим

 

По закону Гука:

 

с другой стороны:

 

Используя эти два уравнения, получим работу деформации стенок трубы:

 

.

 

Работу сжатия объема  жидкости

можно представить как работу сил давления на пути  (рис. 3):

 

 

.

 

 

Рис. 2

 

Аналогично закону Гука, для линейного удлинения относительное уменьшение объема жидкости можно выразить так:

 

,

 

где  - среднее для данного  значение адиабатического модуля упругости жидкости.

    Приняв за объем жидкости  в трубе, получим выражение работы сжатия жидкости:

 

.

      

Рис. 3

 

Таким образом, уравнение энергий имеет вид:

 

.

 

Найдя из этого уравнения , получим формулу Жуковского, который впервые теоретически и экспериментально исследовал гидравлический удар в трубах в случае мгновенного закрытия запорного устройства:

.

Величина , обозначим ее , имеет размерность скорости.

Если предположить, что труба имеет бесконечно жесткие стенки, т.е. , то от последнего остается лишь , то есть скорость звука в однородной упругой среде с плотностью  и объемным модулем .

Формула Жуковского может быть кратко записана в виде:

 

,

 

где: – плотность жидкости;

      – скорость потока жидкости;

        – скорость распространения ударной волны в жидкости.

Формула Жуковского справедлива при очень быстром закрытии крана, или, точнее, когда время закрытия

 

,

где:  – фаза гидравлического удара;

 – длина трубопровода.

При  возникает непрямой гидравлический удар, при котором ударная волна, отразившись от бака, придет к крану раньше, чем он будет полностью закрыт. Очевидно, что при этом повышение давления  будет меньше, чем при прямом ударе.

В этом случае повышение давления  может быть приближенно определено по формуле:

 

.

 

Более точные методы расчета непрямого удара излагаются в специальных курсах.