Практическое использование кепстров мощности

Результаты процесса определения кепстров сильно зависят от связанных с этим процессом эффектов и от параметров исходных сигналов. Следовательно, целесообразно рассмотреть относящиеся к кепстрам аспекты и дать соответствующие практические указания.

С теоретической точки зрения нельзя определить логарифм спектров в точках, в которых их значения равны нулю. Следовательно, в этих точках нельзя определить значения соответствующих кепстров мощности. Например, точно периодические сигналы имеют конечные значения лишь в точках, соответствующих частотам их гармоник, и теоретически, не допускают определения кепстров. На практике присутствие паразитного шума (например, шума фона или присущего процессу быстрого преобразований Фурье (БПФ) шума квантования) обычно устанавливает наименьшее значение амплитуд обрабатываемых спектров и, поскольку это значение отличается от нуля, способствует определению соответствующих кепстров. Однако обусловленные шумом составляющие спектров, очевидно влияют на соответствующие кепстры (рис. 4.40). Это нужно учитывать именно при сопоставлении результатов. На практике часто осуществляется сравнение результатов обработки сигналов, зарегистрированных в различные моменты времени в одной и той же точке замера. В таком случае вполне допустимо предположение неизменности паразитного шума (например, шума фона). Нужно подчеркнуть, что присущие отдельным дискретным составляющим спектров значения, превышающие уровень паразитного шума, зависят от ширины частотной полосы, учтенной при определении этих спектров. Следовательно, сравнению можно подвергать лишь кепстры, определенные в идентичных условиях.

Рис. 4.40. Влияния уровня паразитирующего шума на амплитуды составляющих кепстра

 

Ширина учитываемой при определении спектров частотной полосы и характеристики эквивалентных фильтров влияют не только на относительный уровень паразитного шума, но и на другие параметры, связанные с кепстрами. На рис. 4.41 показано, что недостаточное разрешение по частоте обусловливает «сливание» смежных составляющих спектров и, следовательно, уменьшение амплитуд соответствующих составляющих связанных с этими спектрами кепстров. Так как обусловленный недостаточным разрешением уровень обычно находится на определенное число дБ ниже присущих пикам спектров уровней, увеличение амплитуд групп гармоник или боковых полос почти не сопровождается изменением амплитуд соответствующих составляющих кепстров. Именно по этой причине необходимо адекватное разрешение по частоте, способствующее надежному выделению равномерно распределенных составляющих исходных спектров. В качестве практического правила можно принять, что минимальный интервал (т.е. наименьшая периодическая частота) должен представлять общий интервал по меньшей мере восьми спектральных линий (при применении весовой функции Ханнинга).

Отметим, что характеристики фильтра (или эквивалентного фильтра) и интервалы между гармониками также влияют на кепстры в участках между отдельными рагмониками, соответствующими определенным интервалам между спектральными линиями. Это является другой причиной целесообразности сравнения лишь кепстров, определенных в идентичных условиях. В общем, первая рагмоника кепстров содержит самую важную информацию (например, информацию о флуктуациях соответствующих спектров), а рагмоники более высокого порядка несут лишь информацию о искажениях определенных периодичностей, т.е. информацию, находящуюся под влиянием ряда аспектов (в том числе характеристик фильтров или эквивалентных фильтров и т.д.).

Рис. 4.41. Влияние ширины полосы пропускания и характеристики используемого при определении спектра фильтра на соответствующий кепстр

Уменьшающимися постепенно рагмониками более высокого порядка обычно можно пренебречь (за исключением ситуации, в которой нужно подтвердить различие между признаками периодичностей и случайными пиками). Однако на рис. 4.42 показан кепстр, в котором каждая третья рагмоника значительно превышает другие рагмоники. Это значит, что соответствующая скорости вращения основная частота (представленная третьей рагмоникой кепстра) и ее третья гармоника (представленная первой рагмоникой кепстра) проявляются в отдельности в соответствующем спектре (см. рис. 4.42). Упомянутая третья гармоника и ее влияние были в данном случае обусловлены «треугольностью зубчатой передачи».

Рис. 4.42. Практические спектр (а) и кепстр сигнала (б), в случае которого третья рагмоника (120 мс) соответствует четко выделенной изолированной составляющей

 

Нужное разрешение по частоте можно в некоторых случаях обеспечить лишь путем увеличения масштаба частоты при анализе. На основе определенных таким образом спектров можно определить соответствующие кепстры, но в процессе обработки необходимо использовать модуль (абсолютное значение) соответствующих аналитических сигналов, т.е. учитывать выражение (4.44). Рис. 4.41 относится к примеру, аналогичному учтенному на рис. 4.42 примеру. Приопределении кепстра на основе спектра в основном частотном диапазоне равномерно распределенные составляющие совпадают точно с частотами гармоник и все пики действительной части кепстра имеют положительные значения. При применении спектра, определенного в перемещенном в направлении к более высоким частотам участке с увеличенным масштабом частоты, пики появляются не только в действительной части кепстра, но и в отображающей его модуль | ' С_АА(τ)| кривой. Подобная ситуация может возникнуть и при применении относящегося к основному частотному диапазону спектра, в котором проекция равномерно распределенных составляющих не проходит через нулевое значение частоты, т.е. например, при модуляции несущей составляющей с частотой, которая не является субгармоникой несущей частоты. На практике такая ситуация встречается в области механических колебаний планетарных передач и подшипников качения.

В настоящее время не имеется общего правила определения масштаба и единиц кепстров. По нашему мнению значения рагмоники  кепстров целесообразно выражать в децибелах (размах), так как значениям претерпевших логарифмическое преобразование амплитуда спектров мощности обычно определяются в децибелах и ничто не препятствует применению тех же единиц при выражении значений результатов преобразования Фурье для рагмоник этих спектров, т.е. кепстров мощности. Определение масштаба кепстра с учетом единиц децибелов (размах) иллюстрирует рис. 4.42. Спектру в виде синусоиды с амплитудой, изменяющейся в перекрывающем 80 дБ диапазоне, соответствует равное 80 дБ (размах) значение рагмоники кепстра. Следовательно, значение рагмоники кепстра отображает выраженную в децибелах среднюю меру флуктуаций соответствующего спектра с определенным распределением в частотной области. Нужно подчеркнуть, что лишь соответствующая нулевому значению квефренции составляющая рагмоника кепстров содержит информацию о действительном масштабе в определенных физических единицах. Следовательно, присущее этой составляющей значение рагшмоники можно выразить в дециделах относительно определенного опорного значения. Значения всех остальных составляющих рагмоник кепстров, т.е. составляющих, соответствующих ненулевым значениям квефренции, нужно выражать в единицах дБ, отображающих отношения без всякого рода связи с физической размерностью (т.е. флуктуации вокруг значения «постоянного тока»).

Отметим, что применение описанных выше методов определения масштаба и единиц кепстров предполагает обработку соответствующих спектров как стационарных процессов. С учетом сказанного, например, в показанные на рис. 4.42 результаты была внесена поправка на сужение диапазона частот спектров на рис. 4.43а и б.

 

Рис. 4.42.  Спектры вибрационных сигналов: а ^_ от 0 до 12800 Гц основном частотном диапазоне; б ^_ от 256 до12800

Рис. 4.42.  Кепстры, действительная часть, определенные на основе относящихся к участкам с увеличенным масштабом частоты спектров

Рис. 4.42.  Модуль аналитического сигнала

Вышесказанное свидетельствует о том, что результирующие кепстры всегда зависят от методов анализа и исходных сигналов. Поэтому необходимо использовать совместимые методы определения масштаба и подвергать сравнению лишь те кепстры, которые определенны в идентичных или по меньшей мере почти идентичных условиях.

Комплексные спектры

Комплексные кепстры принципиально более эффективны, чем кепстры мощности, но их определение, обработка и применение является более затруднительны. Главная причина этих затруднений заключается в том, что фазовый угол   в выражении (4.47) должен быть непрерывной функцией частоты, а не лишь главным значением, определяемым обычно по модулю 2π. На рис. 4.43 показан процесс определения фазовой функции, называемый «развертыванием фазы». Гладкие участки фазовой кривой нетрудно развернуть на основе несложных критериев, например, требования непревышающих π скачкообразных изменений фазового угла в интервалах между смежными дискретными значениями. Однако это не всегда справедливо, а в общих случаях необходимо использовать сложные алгоритмы, например, алгоритм Триболета [3].

С другой стороны, в случае специальных функций, называемых «функциями с минимальной фазой», вообще не нужен сложный процесс определения соответствующих фазовых функций. В специальной литературе [11] показано, что присущая любой из упомянутых специальных функций фазовая функция  является (обратной) трансформантой Гильберта соответствующей логарифмической амплитудной функции, т.е. ln |A(f)|. Следовательно, комплексный кепстр любой функции с минимальной фазой является каузальным, т.е. существует лишь при положительных значениях квефренции, так как его действительная и мнимая части связаны друг с другом преобразованием Гильберта [8]. Четная часть является кепстром мощности (несмотря на то, что последний определен на основе спектра, значения которого выражены в Вт), а нечетная часть является «кепстром фазы»,

Рис. 4.43. Процесс «развертывание фазы» с целью определения спектра фазы в виде непрерывной функции частоты

т.е. кепстром, присущим соответствующей фазовой функции. На основе аналогии можно заключить, что кепстр мощности и кепстр фазы любой функции с минимальной фазой идентичны друг другу в области положительных значений квефренции.

Следовательно, комплексный кепстр любой функции с минимальной фазой можно определить на основе соответствующего кепстра мощности просто путем увеличения вдвое присущих положительным значениям квефренции составляющих последнего и придания равных нулю значений составляющим, присущим отрицательным значениям квефренции.

Функция с минимальной фазой является функцией, присущей которой спектральной амплитудной функции соответствует минимальная фазовая задержка. Соответствующая стабильной, каузальной функции передаточная функция не имеет полюсов в правой половине плоскости Лапласа, т.е. в области положительных значений показателя затухания – σ. Функция с минимальной фазой не должна иметь ни полюсов, ни нулей в правой половине упомянутой плоскости, так как полосы, получаемые в результате логарифмического преобразования нулей, исключали бы стабильность и каузальность кепстра. Следовательно, стабильная, каузальная функция с неминимальной фазой отличается от функции с минимальной фазой только присутствием нулей в правой половине плоскости Лапласа. Соответствующую передаточную функцию можно рассматривать как результат умножения функции с минимальной фазой на широкополосную (линейную) функцию, пары полюсов и нулей которой определены общим выражением (s-a)/(s+a*). Широкополосная (линейная) функция имеет равную единице амплитуду, но добавляет равную 2 π фазовую задержку при прохождении через каждую пару полюс-нуль. По существу сказанное поясняет понятие функции с минимальной фазой. Отметим, что по причине конечной длительности импульсной характеристики широкополосной (линейной) функции соответствующая определенной амплитудно-частотной характеристике функция с минимальной фазой обладает импульсной характеристикой с минимальной длительностью.

При переходе в кепстральную область необходимо логарифмическое преобразование частотной характеристики сигнала, который более целесообразно представить в виде произведения соответствующих членов (см. выражение 4.45), а не суммы таких членов (см. выражение 4.47). Более того, с учетом упрощения математической обработки при представлении учитываемой частотной характеристики сигнала целесообразно воспользоваться z -преобразованием, используемым вместо преобразования Лапласа, т.к z -преобразование эквивалентно преобразованию Лапласа при обработке представленных в дискретном виде функций. Выражение относящееся к плоскости z - преобразованию запишется в виде

                               (4.53)

В выражении (4.53) а_к и с_к являются соответственно нулями и полюсами внутри единичной окружности (см. рис. 4.44), соответствующей левой половине плоскости s, а b_к и d_k являются соответственно нулями и полюсами вне упомянутой единичной окружности (т.е. в области, соответствующей правой половине плоскости s). Модули | а_k|, |b_k|, |с_k| и | d_k| имеют меньшие единицы значения.

Рис. 4.44. Представление частот в плоскости z (традиционное представление с действительной осью в горизонтальном положении)

Путем логарифмического преобразования и разложения членов log (1 - αz^±1)в степенные ряды можно вывести выражение, определяющее дискретные значения кепстра на основе полюсов и нулей, причем параметром является порядковый номер п дискрет во временной области:

                                           (4.54)

Как можно было ожидать, относящиеся к минимальной фазе члены проявляются лишь при положительных значениях квефренции, а относящиеся к неминимальной («максимальной») фазе члены связаны с отрицательными значениями квефренции. В случае стабильных, каузальных функций полюсы d_k равны нулю, так что относящиеся к неминимальной фазе члены связаны только с нулями b_к. Отдельные члены выражения (4.54) являются комплексными экспоненциалами (затухающими синусоидами при применении сопряженных пар), дополнительное затухание которых обусловлено умножением на гиперболическую функцию 1/ n.