Область применения комплексных кепстров

При надобности возврата во временную область после модифицирования (редактирования) кепстра необходимо использовать комплексный кепстр (а не кепстр мощности).

  Устранение  эха. Пример, приведенный на рис. 4.45, относится к созданному путем цифрового моделирования алгоритму, который  иллюстрирует основанную на применении комплексного кепстра процедуру устранения эха из сигнала во временной области. Исходный сигнал имеет вид затухающей синусоиды (импульсной характеристики системы с одной степенью свободы). На этот сигнал наложено двукратное эхо с идентичными интервалами. Несмотря на то, что этот паразитный сигнал перекрывает исходный сигнал, соответствующие ему дельта-функции в комплексном кепстре четко выделены и отделены от затухающей быстро составляющей, соответствующей исходному сигналу. Следовательно, соответствующие эху составляющие легко устранить путем модифицирования комплексного кепстра. Полученный на основе модифицированного комплексного спектра сигнал во временной области подтверждает эффективность описанного метода.

На рис. 4.46  показаны результаты, полученные при практическом применении описанного выше метода, т.е. при определении амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик громкоговорителя, установленного в нормальном помещении. В качестве сигнала возбуждения использовался прямоугольный импульс длительностью 50 мкс. Воспринятый в помещении акустический сигнал (см. рис. 4.46 а) содержал несколько пиков, обусловленных отражениями звуковых волн и соответствующих временной задержке 6,2 мс и больше. В отличие от созданного путем цифрового моделирования и показанного на рис. 4.45 примера в данном практическом случае оказалась необходимой дополнительная обработка («развертывание» и пересчет масштаба) спектра фазы, предшествующая определению показанного на рис. 4.46 б комплексного кепстра.

Рис. 4.45. Пример основанного на модифицировании комплексного кепстра метода устранения эха

Рис. 4.46. Результаты практического применения  метода при определении амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик громкоговорителя в нормальном помещении

Так как обусловленные неидеальными отражениями звуковых волн пики кепстра были разнесены в относительно широком диапазоне, при обработке использовался быстро спадающий и способствующий устранению всех отражений лифтр (лифтр с характеристикой, соответствующей половине функции Ханнинга и принимающей нулевые значения от 5 мс). Результирующие логарифмическая амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (в диапазоне частот до 10 кГц) исследуемого громкоговорителя показаны на рис. 4.46 в.

Допускающие сравнение и полученные методом спектрометрии с временной задержкой результаты определения тех же характеристик идентичного громкоговорителя показаны на рис. 4.47. Несмотря на то, что в ходе упомянутых последними исследований громкоговоритель находился в другом помещении, определенные обоими методами частотные характеристики хорошо соответствуют друг другу.

Одновременно с определением показанных характеристик  на рис. 4.46 и относящихся к диапазону с верхним пределом 10 кГц,  было осуществлено другое исследование, основанное на применении комплексного кепстра в ограниченном частотой 5 кГц диапазоне. Из-за увеличенной вдвое длины реализации паразитный шум и отражения привели к затруднениям при применении соответствующего алгоритма в процессе развертывания фазы. В трех точках спектра использовавшийся алгоритм определил скачкообразные изменения в неправильном направлении и, следовательно, создал разрывности фазовой функции.

Рис. 4.47. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики идентичного громкоговорителя, определенные методом спектрометрии

с временной задержкой

Решение в данном случае заключалось в применении затухающей экспоненциальной весовой функции во временной области, благодаря которой удалось существенно уменьшить паразитный шум и отражения в окончательном участке реализации исходного сигнала. После модификации кепстра, осуществленной с целью устранения отражений, была путем соответствующих преобразований определена импульсная характеристика. На основе скомпенсированной с учетом использовавшейся экспоненциальной весовой функции импульсной характеристики были наконец определены амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики исследуемого громкоговорителя. Результирующая фазо-частотная характеристика показана на рис. 4.46в  в идентичном масштабе (несмотря на увеличенное вдвое разрешение по частоте при ее определении).

Применение комплексных кепстров при исследованиях громкоговорителей обычно не сопровождается затруднениями, связанными с развертыванием фазы, так как обрабатываемые спектры фазы обычно относительно гладки и спектры амплитуды не содержат нулевых значений. Наоборот, в случае общих сигналов процесс развертывания фазы может обусловливать серьезные затруднения.

Отметим, что на рис. 4.47 в также показана функция с минимальной фазой, соответствующая показанной там метода амплитудно-частотной характеристике и определенная с применением описанного в подразделе 4.3.

Разложение свертки. Одна из важных областей применения комплексных кепстров связана с анализом и синтезом речи [9, 10] и относится к выделению информации, относящейся к формантам, из информации, относящейся к голосу/источнику звука. В подразделе 4.5.3.5 было показано, что преобладающая часть необходимой для сохранения понятности речи информации содержится в относительно узком участке кепстра, соответствующем малым значениям квефренции. Следовательно, эту информацию можно с высокой эффективностью передавать вместе с информацией о звонкости речи и о тональном составе последней. В приемном тракте можно осуществить синтез, в процессе которого присущая малым значениям квефренции информация используется для создания характеристики фильтра или импульсной характеристики источника звука, содержащего импульсный генератор с регулируемой частотой (для звонких участков) и генератор шума (для глухих участков). Несмотря на применение созданного таким образом искусственного голоса, воспроизводимая речь понятна и звучит естественно.

Другой областью, в которой комплексные кепстры находят все более широкое применение, является диагностика машинного оборудования и его дефектов. Сигналы, регистрируемые на поверхности машинного оборудования и отображающие его механические колебания, всегда сочетают в себе влияния источников и путей распространения этих колебаний. При нормальной эксплуатации машинного оборудования обычно весьма трудно или даже вообще невозможно одновременно измерять и анализировать сигналы возбуждения и сигналы откликов, нужные для определения характеристик различных путей распространения механических колебаний. Однако в связи с выражениями (4.51) и (4.52) было показано, что влияния изолированных доминирующих источника и пути передачи имеют аддитивный характер как в логарифмическом спектре, так и в кепстре. Кроме того, эти влияния часто проявляются в отделенных друг от друга участках кепстра.

В качестве практического примера можно учесть механические колебания коробки передач, где связанный с зацеплением зубьев шестерен сигнал возбуждения имеет хорошо определенные состав и параметры. При этом  преобладают следующие эффекты:

1. Средние эффекты проявляются при частоте зубозацепления и ее гармониках.

2. Неравномерно распределенные эффекты (например, местные дефекты) проявляются при частотах, соответствующих гармоникам скоростей вращения отдельных шестерен.

3. Передаточные функции зацепления отображают соответствующие фильтрации фильтрами нижних частот эффекты сообщения нагрузки между зубьями и находятся под сильным влиянием «коэффициентов перекрытия» (т.е. средних чисел зубьев в зацеплении в периферийных или осевых направлениях).

Первые два эффекта проявляются в изолированных участках кепстров, в то время как третий эффект поддается расчетной оценке. В работах Рандалла Р. Б.   показано, что путем несложного взвешивания кепстров отображающих отклики сигналов в участках ниже самых низких рагмоник описанных (первых двух)  эффектов и простого расчета связанных с коэффициентами перекрытия эффектов (п. 3), можно определить частотные характеристики, присущие путям распространения от источника или источников к точкам замера и хорошо соответствующие характеристикам, определяемым экспериментальным путем (с применением внешних сил во время, когда оборудование взято из эксплуатации). Отметим, что главное различие между получаемыми результатами упомянутыми методами заключается в отсутствии информации, относящейся к большим значениям квефренции, при применении основанного на определении кепстров метода. Рандалл Р.Б  указал на возможность селективного получения отсутствующей информации из участков между рагмониками и применения ее в алгоритмах подбора кривых, используемых при определении частотных характеристик на основе выражения (4.54). Несмотря на то, что этот предложенный метод нуждается в дальнейшем углублении и разработке, для практики очень ценна возможность определения причин изменений сигналов, регистрируемых на поверхности машинного оборудования и отображающих его механические колебания, в частности, возможность выявления связи этих изменений или с сигналами возбуждения, или с динамическими характеристиками исследуемого оборудования.

Применение подобного метода (со взвешиванием кепстров) при синтезе сигналов, отображающих давление внутри цилиндров дизельного двигателя, на основе зарегистрированных на поверхности этого двигателя и отображающих его механические колебания сигналов описано Ордабади А и Р.Х. Лайоном [6].