Главная величина геометрических тел — это их объём

Объём геометрического тела — это величина, которая описывает занимающую этим телом часть пространства.

Из определения следует, что объём не зависит ни от местонахождения тела в пространстве, ни от того, как это тело делится на части.

Величину объёма вычисляют, основываясь на аксиомах:
1) Равные тела имеют равные объёмы.
2) Объём тела равен сумме объёмов его отдельных частей.

Чтобы объём можно было измерить, т.е. чтобы объём можно было бы выразить в виде числа, необходимо выбрать единицу измерения объёма.

Единица объёма — это объём такого куба, ребро которого равно одной единице длины.

Если ребро куба равно 1 см, то его объём обозначается кубическими сантиметрами — см3, если ребро куба равно 1 м, то объём обозначается кубическими метрами — м3.

Тела с равными объёмами называются равновеликими.

Равные тела   Равные тела с объёмом 8 см3

Равновеликие тела Равновеликие тела с объёмом 6 см3

Все равные тела равновелики, но не все равновеликие тела равны.

Некоторые следствия из аксиом

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

 

Доказательство:
1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой.
2) На прямой a выберем точки B и C.
3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α.
4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскости α, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.

 

 

2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.

 

Доказательство:
1) Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке C.
2) Выберем точку A на прямой a и точку B на прямой b так, чтобы эти точки не совпадали с точкой C.
3) Из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскость α. В таком случае прямые a и b находятся на плоскости α (судя по третьей аксиоме).

 

Пример:

Даны пересекающиеся отрезки AC и BD. Доказать, что все отрезки AB, BC, CD, DA находятся на одной плоскости.

Решение:

1) Из второй теоремы следует, что через AC и BD можно провести только одну плоскость, которую обозначим α. Это значит, что точки A,B,C и D принадлежат плоскости α .
2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых AB, BC, CD и DA принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α.

Контрольные вопросы

1) Как называется совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве.

2) Точки A, B, M, N не лежат в одной плоскости. Будут ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и через точки B, N, A, пересекаться по прямой AB?

3) Точки A, B, M, N не лежат в одной плоскости. Будут ли плоскости, проходящие через точки A, B, M и через точки B, N, A, пересекаться по прямой AB?

4) Как называют тела, объемы которых равны?