Для последовательностей f(u) может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой
(*)
Для смещенных последовательностей может быть записано аналогичное выражение:
. (**)
Эти формулы можно представить в символической записи:
.
В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина p = α + iω, где α – абсцисса абсолютной сходимости.
Как следует из (*) и (**), изображение является функцией величины epT.
Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к z-преобразованию ниже будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.
Под z-преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной последовательностей, определяемое формулами
|
|
, , (***)
В этих формулах введено новое обозначение z = epT. Из них следует, что z-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.
Формулы преобразования (***) могут быть записаны в символической форме:
F(z) = Z{f(i)}, F(z,ε) = Zε{f(i,ε)}.
Формулы преобразования могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде:
F(z) = Z{f(t)}, t = iT,
F(z, ε) = Z ε{f(t)}, t = (i + ε)T,
где i = 0,1,2,...
Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к z-преобразованию. Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа. Эти теоремы приведены для несмещенных последовательностей, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных последовательностей, кроме случаев, оговоренных особо.
1. Свойство линейности.
Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации последовательностей равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть
.
Тогда можно записать
.
2. Теорема запаздывания и упреждения.
Рассмотрим последовательность f(i – m), сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Тогда из формулы (***) следует, если обозначить i – m = r,
.
Здесь F(z) – изображение f(i). Если исходная последовательность f(i) равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула упрощается:
Z{f(i – m)} = z-mF(z).
Если сдвиг происходит влево (упреждение) и рассматривается последовательность f(i + m), где m – целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что
|
|
Второе слагаемое в правой части этого уравнения обращается в нуль, если f(i) = 0при i = 0,1,.....,m-1.
При запаздывании на не целое число периодов m + ξ приходится вводить смещенную последовательность f(i + ε – m – ξ), где m – целая, а ξ – дробная часть запаздывания. Если смещение ε удовлетворяет условию 0≤ ε < ξ и f(i + ε –m –ξ) тождественно равно 0 при i + ε < m – ξ, то можно показать, что
Z ε{f(i + ε – m – ξ)} = z-(1+m)F(z,1 + ε – ξ).
Если ξ≤ ε <1, то
Z ε{f(i + ε – m – ξ)} = z-mF(z,ε – ξ).
При использовании таблицы для нахождения изображений следует вместо ε подставить 1 + ε – ξ или ε – ξ в соответствии последними формулами.
3. Сумма ординат последовательности.
Если абсцисса абсолютной сходимости отрицательна α<0, то подставив (***) р = 0, имеем:
.
4. Конечное значение последовательности
Составим первую прямую разность последовательности f(i) и на основании свойства линейности найдем ее изображение
Z{∆f(i)} = (z-1)F(z) – zf(0).
Далее на основании свойства (3) найдем сумму ординат ∆f(i):
Кроме того, можно записать
.
Из двух последних выражений следует:
.
5. Формулы разложения.
Если изображение представляет собой простейшую табличную форму, то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени.
6. Разложение в ряд Лорана.
Из основного выражения z-преобразования (***) следует:
.
Разложим любым способом изображение F(z) в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням z):
F(z) = c0 + c1z-1 +... + ckz-k +...,
и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что с0 = f(0), c1 = f(1), c2 = f(2),..., ck = f(k) и т.д.
Разложение в ряд можно делать любым способом, т.к. такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.
применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала f(i) или f(i, ε) в дискретных точках без нахождения полюсов изображений F(z).
7. Решение разностных уравнений.
Пусть имеется разностное уравнение в форме
,
с начальными условиями y(ν) = yν(ν = 0,1,...,n-1). Найдем z-преобразование для его левой и правой частей. В соответствии с формулой теоремы запаздывания и упреждения для случая упреждения на n тактов:
Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (n-1), (n-2),...,1 тактов.
Для входной последовательности начальные условия не задаются. Поэтому
Z{u(i+m)} = zmU(z).
В результате при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям получим:
C(z)Y(z) – Y0(z) = B(z)U(z),
где C(z) = c0zn + c1zn-1 +... + cn, B(z) = b0zm + b1zm-1 +...+ bm, аY0(z) – сумма членов, определяемых начальными условиями.
Из последнего выражения можно найти изображение искомой выходной последовательности
. (+)
Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу y(i).
Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия y(ν) = yν(ν = 0,1,...,m-1). Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения входной последовательности.
Более удобны для решения разностные уравнения вида
, (**)
с начальными условиями y(ν) = yν(ν = 0,1,...,n-1).
Изображение последовательности y(i-n), запаздывающей на n тактов, в соответствии со 2-м свойством будет:
.
Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (n-1), (n-2),..., 1 тактов.
y(ν) = yν(ν = 0,1,...,n-1).
Особый интерес представляет случай, когда до момента времени t = 0 искомая последовательность тождественно равна 0. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при t = -0) при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении (+) для изображения пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид
|
|
(++)
Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах.