Кривые второго порядка

     Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат: 

Ах² +2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.                             (12)

1. Уравнение окружности с центром в точке О(а,в) и радиусом,

равным R: (х – а)² + (у – в)² = R².

2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости

(рис.2), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек

(фокусов) той же плоскости есть постоянная величина, и эта величина

больше расстояния между фокусами.

 

 

Каноническое уравнение эллипса:

где a = OA – большая, b =

 OB - малая полуоси. Координаты фокусов эллипса:

,

где .

    Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния 2с к длине большей оси 2а:

.

    Фокальным радиусом точки М эллипса называют отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами F₁ и F₂ . Их длины r₁ и r₂ можно вычислить по формулам:

.

 

     3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости (рис. 3), для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная, и эта величина меньше расстояния между фокусами.Каноническое уравнение гиперболы:

где a = OA – большая, b = OB – малая полуоси.

Координаты фокусов эллипса:

где .

     Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния 2с к длине большей оси 2а:

.

    Асимптотами гиперболы называют прямые, определяемые уравнениями:

.

   Директрисами гиперболы называют прямые определяемые уравнениями:

.

   Гипербола с равными полуосями (b=a) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид

.

   Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы вычисляются по формулам:

.

     Фокальные радиусы точки левой ветви гиперболы вычисляются по формулам

.

                                              y

 

                          

 

                      F₁                                     F          F₂         F₂         x

 

 

Рис. 3

    4. Парабола. Параболой называют геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (Фокса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости.Уравнение параболы, симметричной относительно оси О_х (рис. 4) и проходящей через начало координат, имеет вид

,

уравнение ее директрисы:

.

    Парабола, определяемая уравнением, имеет фокус F(p/2,0), фокальный радиус ее точки M(x,y) вычисляется по формуле

                    .    

                                                                                               у

    y

 

 

  0                               х

 

                                                                                                0                   х

              Рис. 4                                                             Рис. 5

    Парабола, симметричная относительно оси O_y (рис. 5) и проходящая через начало координат, определяется уравнением

.

Пример 18. Привести к каноническому виду уравнение линии

 х²+4у²+2х-16у+13= 0 и построить ее.

Решение. Дополним члены, содержащие х,и у, до полных квадратов. Получим(х² + 2х + 1) + 4(у² - 4у + 4)-1-16 +13 = 0, или (х +1)² + 4(у -2)² = 4,

 , т.е. эллипс, центр которого лежит в точке С (-1,2), большая полуось а = 2, малая полуось b = 1 (рис. 6).

                                  y

 

               

      

         -2      -1      0                   x

                                               

                              Рис. 6

 

Введение в анализ

Пусть два непустых множества Х и У. Если каждому элементу х из множества Х по определенному закону f ставится в соответствие один и только один элемент у из У, то говорят, что задана функция f(x).

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

а) степенная функция у = х^a, где aÎR;

б) показательная функция у = а ^х, где а > 0, а ¹ 1;

в) тригонометрические функции;

г) обратные тригонометрические функции.

д) логарифмическая функция у = log _a x, где а > 0, а ¹ 1.

Графики основных элементарных функций приведены в прил. 3

 

Пределы

      Числовой последовательностью называется функция х _n = j (n), n = =1,2,3,…определенная на множестве натуральных чисел. Число а называется пределом последовательности {х_n}, если для любого числа e > 0 найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство < e.

   Окрестностью точки а называется интервал (а - e; а + e) и обозначают U_e (а). Если число а является пределом последовательности {х_n}, то в U_e (а) попадают все члены данной последовательности, кроме конечного их числа.

   Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела называется расходящейся.

!Ñ Хорошим примером последовательности является наращивание денежной суммы, положенные в банк. В банк сделан вклад 1000 рублей при процентной ставке 2%. Сумма S которая будет получена через время t при условии начисления простых процентов, выражается формулой S = 1000(1 +0,02 t). Если начисления производятся только по прошествии целого числа лет, то сумма является арифметической прогрессией.

   Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого e >0 существует , такое, что  | f (x) – A | < ε при 0<| x - а | < . Записывается:    f (x) = A. Аналогично    f (x) = A, если | f (x) – A | < ε при . Употребляется также условная запись    f (x) = ∞, которая обозначает, что  при 0<| x - а | < , где Е – произвольное положительное число.

    Если с – постоянная величина, то c = c. Если функции f(x) и j(x) имеют пределы при х®а, то

(f(x) ± j(x)) = f(x) ± j(x),

(f(x)·j(x)) = f(x)· j(x),

.

Односторонние пределы .  Если x < а и x → а, то условно пишут         x → а - 0; аналогично, если x > а и x → а, то это записывается так x → а +0. Числа f (a - 0) = f (x) и f (a + 0) = f (x) называются соответственно пределом слева функции f (x) в точке а и пределом справа функции f (x) в точке а (если эти числа существуют).

     Бесконечно малые и бесконечно большие. Если lim α (x) = 0, т. е. если | α (x) | < ε при 0 < | x – a | < δ (ε), то функция α (x) называется бесконечно малой при  x → a. Аналогично определяется бесконечно малая α (x) при x → ∞.

Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при x →a есть также бесконечно малые при x → a. Если α (x) и β (x) – бесконечно малые при x → a и  = С,где С – некоторое число, отличное от нуля, то функции α (x) и β (x) называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = 0, то говорят, что функция α (x) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (x).

     Функция α (x) называется бесконечно малой порядка n по сравнению с функцией β (x), если  = С, где 0 < | C | < + ∞.

     Если  = 1, то функции α (x) и β (x) называются равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми при x → a:

α (x) ~ β (x).

Например, при х → 0 имеем: sin x ~ x;.tg x ~ x; ln (1 + x) ~ x и т. п.

Замечание. При нахождении предела заменять эквивалентными бесконечно малыми функциями можно только множители и делители.

    Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое

δ (N), что при 0 < | x – a | < δ (N) выполнено неравенство | f (x) | > N, то функция f (x) называется бесконечно большой при x → а.

Аналогично определяется бесконечно большая f (x) при x → ∞. Подобно тому, как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков.

Некоторые важные пределы:

 - первый замечательный предел;

 - второй замечательный предел;

;

 

Пример 19. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;       5)        

 6)          7)  .                          

Решение: 

    1. Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле ax² +bx+c = a(x-x₁)(x-x₂),

 где х₁ и х₂ – корни трёхчлена. Тогда

 =

      2. Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай 0/0), перейдем к эквивалентным функциям:

 =  = 2.

      3. Уничтожаем иррациональность в числителе путём умножения числителя и знаменателя на 1+ , затем сокращаем дробь на х:

4. Применяем тригонометрическую формулу: 1 – cos x = 2sin²         

  

     5.  так как arctg (x+2) (x+2).

     6. Убедившись, что имеет место случай , подвергаем функцию преобразованиям. Делим числитель и знаменатель дроби на х² (наивысшая здесь степень х ), находим:

так как при х ¥ величины 1/х² и 1/х являются бесконечно малыми.

  7. При х  основание степенно-показательной функции

f(x) = стремится к 1, т.к. , а показатель степени есть бесконечно малая функция. Таким образом имеем неопределенность вида . Сведем этот предел ко второму “замечательному пределу “:

=

    

     5.2. Непрерывность функций

     Функция f (x) называется непрерывной в точке а, если:

1) эта функция определена в точке а, т. е. существует число f (а);

2) существует конечный предел f (x);

3) этот предел равен значению функции в точке а, т. е.  f (x) = f (а).

     Говорят, что функции f (х) терпит разрывы непрерывности при значении х = х₀ (или в точке х₀), принадлежащем области определения функции или являющемся граничным для этой области, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Например, функция

f (x) =  разрывна при х = 1. Эта функция не определена в точке х =1, и как бы мы ни выбрали число f (1), пополненная функция f (x) не будет непрерывной при х = 1. Если для функции f (x) существуют конечные пределы:

f (х) = f (х₀ – 0) и   f (x) = f (х₀ + 0) (причем не все три числа f (х), f (х₀ – 0), f (х₀ + 0) равны между собой), то х₀ называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если f (х₀ – 0) = f (х₀ + 0), то х₀ называется устранимой точкой разрыва. Для непрерывности функции f (x) в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы

f (х₀) = f (х₀ – 0) = f (х₀ + 0).

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода, называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного разрыва, т. е. такие точки х₀, для которых хотя бы один из односторонних пределов f (х₀–0) или f (х₀ + 0) равен ∞.

    Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой – нибудь точке х₀ и если

.

Пример 20.  Исследовать на непрерывность функцию и построить график             

               2     при  0  х 1;

j(х) = 4 - 2х   при   1< х <2;

               2х – 7    при  2  х < +¥.

 

Решение. Неэлементарная функция j(х) определена для всех значений х  0. Она может иметь разрыв в точках х = 1 и х = 2, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция j (х) непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента х.

Исследуем непрерывность в точках х = 1 и х = 2:

j(х) = lim 2 = 2; j(x) = lim(4 - 2x) = 2.

Согласно условию, значение функции j (х) в точке х =1 определяется первой формулой: j(1) = 2 = 2. Следовательно, в точке х =1 выполняются все условия непрерывности: функция определена в окрестности точки х =1 и = = . Поэтому в точке х =1 функция j(х) непрерывна.

Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, т.е. не выполняется 2-е условие непрерывности. Поэтому в точке х=2 функция имеет разрыв (рис 7).

Скачек функции в точке разрыва конечный.

 

 

 

                                                                                                     

                                     у = 4-2х

                                                                     у =2x – 7

      y =2                                 

              0       1          2

                                                                                                        

 

                  -3                                                       

                                 Рис.7

    Пример 21. Исследовать функцию  на непрерывность.

         Решение. Функция непрерывна всюду, за исключением точки х₀ = 2 (т.к. элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены). Найдем пределы слева и справа при х → 2:

         

Следовательно, х₀ = 2 – точка разрыва II рода. Для схематического построения графика найдем предел функции на бесконечности: откуда устанавливаем, что прямая
у = 1 – горизонтальная асимптота (рис. 8).

 

             

	Рис.8