Векторы, основные понятия

1. Нахождение модуля вектора а = (х,у,z):

a) Нахождение координат вектора  по двум точкам А (х_а,у_а,z_a) и

В (х_в,у_в,z_в):  (х_в- х_а, у_в- у_а,z_в- z_a).

3. Если С- середина отрезка АВ, то

      х _с = , .

4. Проекция вектора на ось: пр_l АВ= , где j - угол между вектором АВ и ось l.

5. Направляющие косинусы вектора. Пусть - углы, которые образует вектор =(х,у,z) с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами:          

    .

 

   2.2. Скалярное произведение

   Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) переместительным ;

2) сочетательным ;

3) распределительным ;

4) скалярным квадратом ;

5) если векторы перпендикулярны, то .

   Если даны векторы и , то их скалярное произведение можно вычислить по формуле

                        (.                                   

   Углом между двумя векторами  и  называют угол φ (0≤φ≤ π), определяемый из уравнения 

(7)

                                  cosφ = .

   

    2.3. Векторное произведение векторов

    Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор :

а) ;

б) вектор  перпендикулярен к плоскости параллелограмма,

построенного на векторах а и в как на сторонах;

в) направлен так, что кратчайшее вращение вектора  к вектору   мы наблюдаем с конца вектора  совершающимся против часовой стрелки (говорят также, что , , – правая связка).

Векторное произведение обозначают = .

   Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если векторы коллинеарны, то .

   Если  и , то =  можно вычислить по формуле                           

 =

где , , - единичные векторы, направленные соответственно по осям Ох₁, Ох₂, Ох₃ (естественный базис в R³).

   Площадь треугольника АВС определяется по формуле

S = .

   2.4. Смешанное произведение трех векторов

    Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение  вектора на вектор , то есть

                             (, , ) = (, ).

  Смешанное произведение обладает свойствами:

1) если поменять местами два вектора, то смешанное произведение изменит знак;

2) ели векторы менять в круговом порядке, то смешанное произведение не изменится;

3) если векторы , ,  компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

  Если векторы , ,  заданы своими проекциями, то получим

   (, , ) = а₁ .

   Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: V = . Объем пирамиды, построенной на векторах , ,      равен

                              V _пир = .

    Пример 10. Даны вершины треугольника А(1,-2,4); В (-1,2,0); С(3,-2,1). Найти: а) внутренний угол при вершине В; б) пр _вс (АВ - 2АС).

    Решение:

 а) Составим векторы ВА = (2, -4, 4), ВС = (4, -4, 1), тогда используя формулу (7), получим .

б) АВ - 2АС = (-2, 4, -4) - 2(2, 0, -3) = (-6, 4, 2). Следовательно,

пр _вс (АВ -2АС) =

    Пример 11. Даны координаты вершин пирамиды АВСД:

А(0;-1;2), B(1;-2;3), C(-1;2;-1), Д(4;1;2). Найти:

1) площадь основания ABC;

2) объем пирамиды.

Решение:

1. Вычислим векторное произведение , для этого находим векторы: АВ =  = ,   

АС = .

=  = 2j + 2k;

S = =

2. Найдем вектор АД = {4; -2; 0} и смешанное произведение (АВ,АС,АД):

;

V =