2020-08-05
78
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
(14)
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй на производную первой, т. е.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной 
.
Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой
.
Производная сложной функции. Если y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.
. (15)
Производная обратной функции. Если y = f(x) и x = φ(y) – взаимно обратные дифференцируемые функции и 
, то
.
Если функция 
задана параметрически, то есть уравнениями
, где 
– дифференцируемые функции и 
то её производная 
определяется формулой
Основные формулы дифференцирования. Если 
– дифференцируемая функция, то:
; (16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Пример 22. Найти производную функции 
.
Решение. Считая 
и применяя формулу (16), получаем
Пример 23. Найти производную функции 
.
Решение. Применяя формулу (17), находим
Пример 24. Найти производную функции 
.
Решение. Применяем формулу (15), находим
Пример 25. Найти производную функции 
.
Решение. Так как 
, 
, 
, 
, то по формуле
(15) получаем 
,
Пример 26. Найти производную функции 
.
Решение. Применяя формулы (15) и (18), находим
Пример 27. Найти производную функции 
.
Решение. На основании формул (15), (19), (14) получаем
Пример 28. Найти производную функцию, заданную уравнением 
Решение. Это уравнение определяет функцию от 
Подставляя функцию 
в данное уравнение, получаем тождество 
Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим 
Пример 29. Найти производную функцию, заданную уравнениями 
Решение. Эта функция задана параметрически. Так как 
то по формуле (10) получаем 
Пример 30. Найти производную функции 
.
Решение. Логарифмируя это равенство по основанию е, получаем 
Дифференцируя, находим 
откуда 
Дифференциал функции. Если приращение функции представимо в виде
Dу = АDх+ о (Dх),
где А – постоянная, о (Dх) – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Dх, то слагаемое АDх называют дифференциалом функции f(x) в точке х0 и обозначают dy; функцию в этом случае называют дифференцируемой в точке х0.
Так как dx = Dх, то dy = f ¢ (х)dx.
Дифференциалы и производные высших порядков. Производной n – го порядка f n (x) называется производная от производной (n - 1) – го порядка. Дифференциалом n – го порядка d n y называется дифференциал от дифференциала (n-1) – го порядка как функции х:
d n y = d (d n-1 y).
Правило Лопиталя – Бернулли. Если функции f(x) и φ(x), дифференцируемые в окрестности точки x=a обращаются в нуль и существует предел отношения f´(x)/φ´(x) при x→a, то существует предел отношения самих функций и
Замечание. Если f´(a) = 0, φ´(a) = 0, функции f´(x), φ´(x) дифференцируемы в окрестности точки x=a и существует предел отношения f´´(x)/φ´´(x) при x→а, то
.
С помощью тождественных преобразований к основному виду 
или 
можно свести неопределённости других видов, таких, как 
Пример 31. Найти 
.
Решение. При 
числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределённость вида 
. Чтобы раскрыть её, применяем правило Лопиталя-Бернулли:
Пример 32. Найти 
.
Решение. При 
получаем неопределённость вида 
Обозначим 
и прологарифмируем это равенство по основанию е:
В правой части этого равенства при 
имеем неопределённость вида 
Применяя дважды правило Лопиталя-Бернулли, находим
Следовательно, 
