Замена переменной в решении показательных уравнений

5) Решим уравнение:

4^х - 3·2^х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х - 3·2^х +2 = 0

Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся применить следующий универсальный способ. Называется он замена переменной.

Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t).

Итак, пусть

2^х = t

Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² - 3t+2 = 0

-получилось Квадратное уравнение, решаем через дискриминант, получаем:

t₁ = 2

t₂ = 1

Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁ = 2 = 2^х

Стало быть,

2^х = 2

2^х = 2¹

х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^х

2^х = 1

2^х = 2⁰

х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х₁ = 1

х₂ = 0 -Это ответ.

6) При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

а) 2^х = 7

Из семёрки двойка через простую степень не получается.

x = log₂7

б) 4^х = 5

х =log₄ 5

- Рассмотрев внимательно примеры решения показательных уравнений, выполнить приведённую ниже самостоятельную работу:

Самостоятельная работа

Решить показательные уравнения:

1) 6^х = 216

2) 8^х+1 = 0,125

3) 2^х+3 - 2^х+2 - 2^х = 48

4) 9^х - 8·3^х = 9

5) 2^х - 2^0,5х+1 - 8 = 0