Решение показательных уравнений

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень aⁿ представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени:

1. основное свойство степени a^m·aⁿ=a^m+n,

2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a^m:aⁿ=a^m−n;

3. свойство степени произведения (a·b)ⁿ=aⁿ·bⁿ, свойство частного в натуральной степени (a:b)ⁿ=aⁿ:bⁿ;

4. возведение степени в степень (a^m)ⁿ=a^m·n,

5. сравнение степени с нулем:

o если a>0, то aⁿ>0 для любого натурального n;

o если a=0, то aⁿ=0;

o если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m, то a^2·m>0, если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то a^2·m−1<0;

6. если a и b – положительные числа и a<b, то для любого натурального n справедливо неравенство aⁿ<bⁿ;

7. если m и n такие натуральные числа, что m>n, то при 0<a<1 выполняется неравенство a^m<aⁿ, а при a>0 справедливо неравенство a^m>aⁿ.

8. a^-p =

9.  =

Решение показательных уравнений.

1) Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

3^х = 3²

х = 2

Что мы сделали? Мы просто выкинули одинаковые основания (тройки). Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях, эти числа можно убрать и приравнять показатели степеней.

2) 5^х+2 = 125, 125 = 5³, заменим правую часть на степень. Получим

5^х+2 = 5³ если степени равны и равны основания, то значит показатели должны быть равны, отбрасываем основания и получим:

Х + 2=3

Х=3 – 2

Х=1 – это ответ.

3) 2^2х - 8^х+1 = 0

Первый зоркий взгляд - на основания. Они разные! Два и восемь. 8 = 2³

8^х+1 = (2³)^х+1

Если вспомнить формулу из действий со степенями:

(аⁿ)^m = a^nm, то получается:

8^х+1 = (2³)^х+1 = 2^3(х+1)

Исходный пример стал выглядеть вот так:

2^2х - 2^3(х+1) = 0

Переносим 2^3(х+1) вправо, получаем:

2^2х = 2^3(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

2х = 3(х+1)

2х=3х +3

2х – 3х =3

-х = 3

х = -3

4) Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки.

3^2х+4 -11·9^х = 210

Основания у степеней разные... Тройка и девятка. 9^х = (3²)^х = 3^2х

По тем же правилам действий со степенями: 3^2х+4 = 3^2х·3⁴

-можно записать:

3^2х·3⁴ - 11·3^2х = 210

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Не знаешь, что нужно - делай, что можно!

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 3^2х явно намекает на это.

3^2х(3⁴ - 11) = 210

Что ещё можно сделать? Посчитать выражение в скобках:

3⁴ - 11 = 81 - 11 = 70

Пример становится всё лучше и лучше!

70·3^2х = 210

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

3^2х = 3, запишем 3 в виде степени, получим:

3^2х = 3¹ выбрасываем основания, переходим к равенству показателей

2х = 1

х = 0,5 – это ответ.