Векторные интерпретации в алгебре

Некоторые алгебраические задачи (уравнения, неравенства, вычисление наибольших и наименьших значений выражений), кажущиеся на первый взгляд довольно сложными, могут быть с успехом решены с помощью средств векторной алгебры, прежде всего неравенств

     

и условий обращения этих неравенств в равенства. Вначале рассмотрим, как можно применить неравенство  к решению ряда алгебраических задач.

Неравенство представляет собой по существу не что иное, как неравенство треугольника (сумма длин двух векторов не меньше длины вектора, равного сумме этих векторов; см. рис.).

AB =   

BC =

AC =

AC ≤ AB + BC.

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы и  сонаправлены, т. е. когда отношения их соответствующих координат равны между собой и равны отношению их длин (модулей).

Пример 1. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение. Решить задачу - значит найти наименьшее значение функции

или

 

Введём векторы  {3 − x;  1} и  {x − 2;  2}. Тогда , вектор  имеет координаты {1; 3} и  . 

Поэтому в силу неравенства и того, что , получаем

. Последнее неравенство обращается в равенство, только если векторы  и  сонаправлены. Но в том и только том случае, если отношения их соответствующих координат равны между собой и равны отношению их длин, откуда (заметим, что при x = 2 векторы не являются сонаправленными, следовательно, x  2  и деление на x − 2 возможно). Корнем последнего уравнения является x = 8/3. Значит, наименьшее значение функции

достигается при х = 8/3 и равно

Ответ: .

Заметим, что, вводя векторы , следует выбирать их координаты таким образом, чтобы координаты вектора не зависели от переменной x. Кроме того, если квадраты каких-то соответствующих координат векторов являются числами, то для того, чтобы было выполнено условие сонаправленности векторов , знаки этих координат должны выбираться одинаковыми. В более сложных случаях, когда любая из координат векторов зависит от переменной, следует наложить ограничения на отношения соответствующих координат: эти отношения должны быть положительными.

Пример 2. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором следующее уравнение имеет хотя бы один корень:

 

 

Решение. Рассмотрим функцию

 

и найдём её наименьшее значение. Введём векторы  {x − 1; 6 − x} и  {4 − x; x − 2}. Тогда а = имеет координаты {3; 4} и  = 5.

Поэтому в силу неравенства получаем, что a ≥ 5, причём знак равенства достигается, только если  ↑↑  , откуда

Решением уравнения и всей системы является x = 22/7 (заметим, что ни при x = 4, ни при x =2 векторы  и  не являются сонаправленными, следовательно, x 2, x 4 и деление на x −2 и x − 4 возможно). Значит, наименьшее значение функции

достигается при x = 22/7 и равно 5.

Ответ: 5.

Обе рассмотренные задачи могли быть решены и с помощью геометрических интерпретаций. Какой метод выбрать для решения той или иной задачи (а некоторые из них могут быть решены несколькими способами), зависит от разных факторов: того, какой

метод усвоен лучше, кажется более простым или первым приходит в голову на экзамене и т. п.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором следующее уравнение имеет хотя бы один корень:

2. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором следующее уравнение имеет хотя бы один корень:

3. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором следующее уравнение имеет хотя бы один корень:

4.  Найдите наименьшее значение параметра a, при котором следующее уравнение имеет хотя бы один корень: