Самостоятельная работа

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3⋅x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным

 числом. Получаем, что (3⋅x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3⋅x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3⋅x+12≤0; 3⋅x≤−12; x≤−4.

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7⋅z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется −2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число −2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7⋅z)L−2,7)<0L−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7⋅z>0; z<0

Ответ: z<0  или (−∞, 0).

-Итак, чтобы решить неравенства, нужно:

· раскрыть скобки;

· слева собрать переменные, а справа числа;

· привести подобные слагаемые;

· разделить обе части на коэффициент при x.

Пример:

Решить неравенство 5⋅(x+3)+x≤6⋅(x−3)+1

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5⋅x+15+x≤6⋅x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6⋅x+15≤6⋅x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0. Отсюда имеет неравенство вида 32≤0, из полученного при вычислении 0⋅x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство >0.

Решение:

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду >0.

1. Приравниваем числитель к нулю f(x)=0.    X−1=0

x=1 – это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю g(x)=0.    X+3=0

x=−3 – это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):

x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.

+

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки

1

-3

   

Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства >, выбираем в ответ интервалы со знаком +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

Самостоятельная работа

1) 7 – 2(х – 3)

2) 4(х + 5)

3) 9х + 3(х +2)

4)

5)

6)  +

7)