Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Треугольником Паскаля называют особую числовую таблицу треугольной формы. Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали многие математики, жившие в разные времена. Таблица содержит коэффициенты членов многочленов, получавшихся при возведении двучлена в степень. Эту таблицу назвали треугольником Паскаля в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля, жившего в 17 в, посвятившего ей своё сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».

В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Первая строка в этой таблице содержит коэффициенты одночленов для показателя степени n = 1; вторая - для  n = 2;  третья – для n = 3 и т. д.

Формула Бинома Ньютона представляет выражение (a + b) ⁿ при положительном целом n  в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для  a и  b  постоянна и равна n.

Числа  называются биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1.Сумма коэффициентов разложения (a + b)ⁿ равна  2ⁿ.

2.Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

3.Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения.

Пользуясь формулой Бинома Ньютона, мы можем легко вывести формулу куба суммы двух выражений:

Задача 6. Представить в виде многочлена (1+х)⁶

Решение:

 Контрольные вопросы:

1. Что называется перестановкой из n элементов?

2. Какой смысл имеет запись n!?

3. По какой формуле вычисляют число перестановок из n элементов?

4. Что называется, размещением из n элементов по k?

5. По какой формуле вычисляют число размещений из n элементов по k?

6. Что называется, сочетанием из n элементов по k?

7. По какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по k?