Итоговое обобщение и систематизация знаний по темам

1 2

«Обыкновенные дроби и смешанные дроби»

https://www.youtube.com/watch?time_continue=8&v=skT0yr2gQis&feature=emb_logo

Перечень рассматриваемых вопросов:

– дробь в математике;

– правильная дробь;

– неправильная дробь;

– смешанная дробь;

– несократимая дробь;

– сократимая дробь.

Основные определения:

Дробь в математике – число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.

Правильная дробь – это дробь, в которой числитель меньше знаменателя.

Неправильная дробь – это дробь, в которой числитель равен или больше знаменателя.

Смешанная дробь – это дробь, которая представляет из себя сумму натурального числа и правильной дроби.

Несократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель (1).

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

«Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе», – однажды сказал Карл Якоби. Но стоит добавить, что математика становится ясной только тем, кто хочет её изучать. Мы изучали математику на протяжении большого количества занятий. И сегодня настал момент повторить некоторые новые понятия, изученные нами в 5 классе. Одно из таких понятий – дроби.

Давайте вспомним, что мы знаем о дробях.

Во-первых, дробь показывает какую-то часть от целого или единицы.

Например, дробь показывает одну девятую часть от единицы.

Любую дробь можно записать в виде буквенного выражения (рациональное число), где p – числитель, q – знаменатель.

Натуральное число можно тоже записать в виде дроби = р.

Во-вторых, дроби можно разделить на следующие виды: правильные, когда числитель меньше знаменателя, и неправильные, когда числитель равен или больше знаменателя.

Например, – правильная дробь, а и – неправильные дроби.

Дробь можно разделить и на другие виды: сократимые и несократимые

Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.

Например,.

Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь.

Если же числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (т. е. имеют только один общий делитель (1), то такая дробь называется несократимой.

Например,.

Ещё есть дроби, которые называются смешанные, т. е. это дробь, которая представляет из себя сумму натурального числа (целая часть) и правильной дроби (дробная часть)

Например, смешанная дробь.

Теперь вспомним все изученные нами арифметические действия с дробями, а точнее, сложение, вычитание, умножение и деление.

1. Вспомним правило сложения (или вычитания) дробей.При сложении (или вычитании) дробей с одинаковым знаменателем, складываются числители, а знаменатель переписывают.

Например, сумма или разность.

1. При сложении (или вычитании) дробей с разными знаменателями, дроби приводятся к общему знаменателю, а затем складываются (или вычитаются) числители, а знаменатель переписывают.

Например, сумма одной второй и одной восьмой даст пять восьмых, а их разность даст три восьмых.

1. Чтобы найти сумму (или разность) смешанных дробей, необходимо сложить (или вычесть) отдельно целые части и отдельно дробные части, а затем сложить результат.

Например, так выглядит сумма и разность смешанных чисел четыре целых одна пятая и две целых две пятых:

1. Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Например,

Если дробь смешанная, то её надо записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения обыкновенных дробей.

5) Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Если дроби смешанные, то сначала их надо записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления обыкновенных дробей.

Решим задачу из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона: трое рабочих могут выполнить работу, при этом А сможет выполнить её один раз за 3 недели, В – три раза за 8 недель, С – пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. Следует считать, что в неделе 6 рабочих дней по 12 часов.

Решение. Для решения задачи примем работу, которую выполняют рабочие, за 1. Тогда можно найти работу, которую выполняют рабочие А, В, С отдельно за неделю.

По условия задачи рабочий А выполняет работу 1 раз в 3 недели, следовательно, за неделю он выполнит работу, равную.