Теорема Ролля, Лагранжа и Коши

Если функция f (x) определена в некотором промежутке, во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение и имеет в этой точке производную , то эта производная равна нулю  = 0.

 Þ .

Дано: , , ,

.

Доказать:  = 0.

Доказательство:

т.к. f (c)> f (x),  Þ  для  (рис. 1), ,                                                      Рис. 1

, если  и , если .

Перейдем в неравенствах к пределу.

Знак неравенства при переходе к пределу ослабевает.

, если  и , если .

Получаем неравенство:  и , следовательно  = 0.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема внутри него и f (a) = f (b), то внутри промежутка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка x = c, в которой производная данной функции равна 0.

 Þ

Рис. 2.

Доказательство:

По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция  на отрезке  [ a; b ]  принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно и . Имеются две возможности: или , или . Рассмотрим их.

    Пусть . Тогда функция  на отрезке  [ a; b ]  сохраняет постоянное значение  и, следовательно, в любой точке интервала (a; b) ее производная равна нулю. В этом случае  за   с можно взять любую точку интервала (a; b).

   Пусть . Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений  или  функция принимает внутри отрезка

[ a; b ]. Обозначим f (с) = M,  , так как - наибольшее значение функции, то для всех  выполняется неравенство  Найдем производную  в точке , .

Выполняется неравенство , так как

Если (т.е.  справа от точки ), то  и поэтому . Если (т.е.  слева от точки ), то  и . Следовательно, получаем .

В случае , доказательство аналогичное.

Геометрический смысл теоремы  Ролля:

Если условия теоремы выполняются, то на интервале (a; b) существует такая точка  c, что в соответствующей точке кривой  касательная параллельна оси . (Рис.2)

Физическая интерпретация теоремы Ролля.

 Пусть - время, а - координата точки, движущейся по прямой, в момент времени . В начальный момент  точка имеет координату , далее движется определенным образом со скоростью  и  в момент времени  она возвращается в точку с координатой , т.е. . Ясно, что для возвращения в точку  она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем «повернуть назад»), т.е. в некоторый момент  скорость .

Пример. Проверим, применима ли  теорема Ролля к функции  на отрезке . Если окажется, что теорема применима, то найдем точку , в которой производная данной функции равна нулю.

Решение:

Функция  непрерывна на отрезке , ее производная определена всюду на интервале , выполняется условие . Значит, все три условия теоремы Ролля выполнены. В качестве точки  можно выбрать , так как . Заметим, что можно было положить .

Ответ:

Пример.  Покажем, что уравнение  имеет только один действительный корень.

Решение:

Рассмотрим функцию . Она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, причем .

Можно заметить, что при любом значении  имеем . Но тогда уравнение может иметь не более одного действительного корня. В самом деле, если бы оно имело два корня  и   (), то, применив к функции  на отрезке  теорему Ролля, убедились что все условия теоремы Ролля здесь выполнены:  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и , получили бы, что между  и  существует точка  такая, что . Последнее невозможно, значит, уравнение имеет не более одного действительного корня. Существование действительного корня следует из того, что -многочлен нечетной степени (корень  в данном случае легко найти подбором).

Пример. Дана функция . Пусть . Тогда . Однако производная  не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Противоречит ли это теореме Ролля?

Решение:

Нет, не противоречит,т.к. в точке  интервала  производная не существует, и условия теоремы нарушены.

Теорема Лагранжа [3]

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема внутри него, то существует хотя бы одна точка внутри промежутка [ a; b ] такая, в которой выполняется соотношение:

Рис. 3

 

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию

 . Уравнение секущей (по точке  и угловому коэффициенту) имеет вид: , при этом . Функция  удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке   и дифференцируема на интервале . Подставляя  и

 

 в функцию нетрудно проверить что  и , т.е. . По теореме Ролля существует по крайней мере одна такая точка , , что . Так как , то, следовательно, . Откуда получаем: , что и требовалось доказать.

 

Равенство , где   называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

 

 Þ

Þ .Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке

.

Замечание. Теорема Коши – обобщение теоремы Лагранжа, в случае

 получаем теорему Лагранжа.

Доказательство:

 Прежде чем перейти к доказательству теоремы Коши,

сначала докажем, что . Действительно, если допустить, что

 или , то по теореме Ролля для функции  

найдется точка , (), в которой . А это противоречит

условию, т.к.  на интервале .

Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию

. Эта функция

удовлетворяет всем условиям Ролля: непрерывна на отрезке  и

дифференцируема на интервале , т.к. является линейной комбинацией

функций  и ; на концах отрезка она принимает равные значения

, т.е. . По теореме Ролля для функции

существует точка , (), такая, что . Так как

, то .

Отсюда, учитывая, что , получаем: , что и

требовалось доказать.

Пример.  Пусть , , . Составим формулу Коши и

 найдем значение .

Решение:

Функции  и  непрерывны на отрезке ,

дифференцируемы в интервале  и  в интервале .

Следовательно, условия теоремы Коши выполнены и, значит, существует

 точка  такая, что . Найдем эту точку. Имеем:

,

. Значит, . Из этого

уравнения находим .

Ответ:

Пусть  и  – бесконечно малые при x ® a  функции, , т.е. . Если функции  и  непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и  при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.

  Предел отношения двух бесконечно больших (бесконечно малых)) функций равен пределу отношения их производных (если он существует)

Доказательство: Применяя формулу Коши, получим: , где  между  и . Или, учитывая, что , т.к. функции  и - бесконечно малые, непрерывные в точке  функции, получаем . Пусть при

 отношение  стремится к некоторому пределу. Так как  лежит между  и , то при  получим , а следовательно, и отношение  стремится к тому же пределу. Учитывая равенство , получим: если при  существует предел отношения ,то , а это и требовалось доказать. Если же окажется, что  и  бесконечно малые при , то правило  Лопиталя применяется повторно. Иногда приходится правило Лопиталя применять несколько раз.

Пример. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

Решение: = = = = = = = =

Ответ: .

Теорема справедлива   и в том случае, когда . Пусть - символ      (рассуждения сохраняются и для символов ), положив , получим, что  при , и поэтому если существует предел отношения функций  при , то существует и предел отношения функций  при  и они равны. Тоже можно сказать и об отношении их производных. Функции ,  вблизи точки  удовлетворяют условиям доказанной теоремы, поэтому на основании равенства   имеем: = = , откуда получаем:  .