Теорема Ролля, Лагранжа и Коши

Теорема Ферма

Теорема Ферма [1]

Если функция f (x) определена в некотором промежутке, во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение и имеет в этой точке производную , то эта производная равна нулю = 0.

Þ .

Дано: , , ,

Доказать: = 0.

Доказательство:

т.к. f (c)> f (x), Þ для (рис. 1), , Рис. 1

, если и , если .

Перейдем в неравенствах к пределу.

Знак неравенства при переходе к пределу ослабевает.

, если и , если .

Получаем неравенство: и , следовательно = 0.

Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля [2]

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема внутри него и f (a) = f (b), то внутри промежутка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка x = c, в которой производная данной функции равна 0.

Рис. 2.

Доказательство:

По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция на отрезке [ a; b ] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно и . Имеются две возможности: или , или . Рассмотрим их.

Пусть . Тогда функция на отрезке [ a; b ] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (a; b) ее производная равна нулю. В этом случае за с можно взять любую точку интервала (a; b).

Пусть . Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений или функция принимает внутри отрезка

[ a; b ]. Обозначим f (с) = M, , так как - наибольшее значение функции, то для всех выполняется неравенство Найдем производную в точке , .

Выполняется неравенство , так как

Если (т.е. справа от точки ), то и поэтому . Если (т.е. слева от точки ), то и . Следовательно, получаем .

В случае , доказательство аналогичное.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Если условия теоремы выполняются, то на интервале (a; b) существует такая точка c, что в соответствующей точке кривой касательная параллельна оси . (Рис.2)

Физическая интерпретация теоремы Ролля.

Пусть - время, а - координата точки, движущейся по прямой, в момент времени . В начальный момент точка имеет координату , далее движется определенным образом со скоростью и в момент времени она возвращается в точку с координатой , т.е. . Ясно, что для возвращения в точку она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем «повернуть назад»), т.е. в некоторый момент скорость .

Пример. Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, то найдем точку , в которой производная данной функции равна нулю.

Решение:

Функция непрерывна на отрезке , ее производная определена всюду на интервале , выполняется условие . Значит, все три условия теоремы Ролля выполнены. В качестве точки можно выбрать , так как . Заметим, что можно было положить .

Ответ:

Пример. Покажем, что уравнение имеет только один действительный корень.

Решение:

Рассмотрим функцию . Она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, причем .

Можно заметить, что при любом значении имеем . Но тогда уравнение может иметь не более одного действительного корня. В самом деле, если бы оно имело два корня и (), то, применив к функции на отрезке теорему Ролля, убедились что все условия теоремы Ролля здесь выполнены: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , получили бы, что между и существует точка такая, что . Последнее невозможно, значит, уравнение имеет не более одного действительного корня. Существование действительного корня следует из того, что -многочлен нечетной степени (корень в данном случае легко найти подбором).

Пример. Дана функция . Пусть . Тогда . Однако производная не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Противоречит ли это теореме Ролля?

Решение:

Нет, не противоречит,т.к. в точке интервала производная не существует, и условия теоремы нарушены.

Теорема Лагранжа [3]

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема внутри него, то существует хотя бы одна точка внутри промежутка [ a; b ] такая, в которой выполняется соотношение:

Рис. 3

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию

. Уравнение секущей (по точке и угловому коэффициенту) имеет вид: , при этом . Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Подставляя и

в функцию нетрудно проверить что и , т.е. . По теореме Ролля существует по крайней мере одна такая точка , , что . Так как , то, следовательно, . Откуда получаем: , что и требовалось доказать.

Равенство , где называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Замечание.

или –

формула Лагранжа (конечных приращений).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей (Рис.3).

Если функция удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале существует точка , такая, что в соответствующей точке кривой касательная параллельна секущей, соединяющей точки . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

Физическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Пусть - время, - координата точки, движущейся по прямой, в

момент времени . Запишем формулу Лагранжа в виде . Величина в правой части является средней скоростью

движения точки по прямой за промежуток времени от до . Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени , в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке .

Cледствие. Если функция непрерывна на отрезке и во всех

внутренних точках отрезка ее производная равна нулю, то функция

постоянна на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть - точка из промежутка . Тогда по теореме

Лагранжа , где . Но по условию ,

следовательно, , откуда . Это и означает, что

рассматриваемая функция постоянна на данном отрезке.

Доказанное утверждение имеет простой физический смысл: если скорость

точки все время равна нулю, то точка покоится и ее координата не

меняется (постоянна).

Замечании.: Если , то из равенства следует . Это значит, что теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа.

Пример. Проверим, применима ли теорема Лагранжа к функции

на отрезке . Если окажется, что теорема

применима, то найдем точку , в которой выполняется равенство .

Решение:

Функция непрерывна на отрезке и

дифференцируема в интервале . Значит, условия теоремы Лагранжа

выполнены. Из формулы получаем:

В данном случае , , .

Подставим полученные значения в формулу Лагранжа: . Из этого уравнения находим (второй корень уравнения не подходит, так как это число не принадлежит отрезку ).

Ответ:

Теорема Коши [4]

Þ .Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке

Замечание. Теорема Коши – обобщение теоремы Лагранжа, в случае

получаем теорему Лагранжа.

Доказательство:

Прежде чем перейти к доказательству теоремы Коши,

сначала докажем, что . Действительно, если допустить, что

или , то по теореме Ролля для функции

найдется точка , (), в которой . А это противоречит

условию, т.к. на интервале .

Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию

. Эта функция

удовлетворяет всем условиям Ролля: непрерывна на отрезке и

дифференцируема на интервале , т.к. является линейной комбинацией

функций и ; на концах отрезка она принимает равные значения

, т.е. . По теореме Ролля для функции

существует точка , (), такая, что . Так как

, то .

Отсюда, учитывая, что , получаем: , что и

требовалось доказать.

Пример. Пусть , , . Составим формулу Коши и

найдем значение .

Решение:

Функции и непрерывны на отрезке ,

дифференцируемы в интервале и в интервале .

Следовательно, условия теоремы Коши выполнены и, значит, существует

точка такая, что . Найдем эту точку. Имеем:

. Значит, . Из этого

уравнения находим .

Ответ:

Теорема Лопиталя

До сих пор при вычислении пределов функций применяли разнообразные приемы, зачастую весьма искусственные. Теорема Лопиталя определяет простой и единообразный метод вычисления пределов различных функций. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производных.

Теорема Лопиталя [5]

Пусть и – бесконечно малые при x ® a функции, , т.е. . Если функции и непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.

Предел отношения двух бесконечно больших (бесконечно малых)) функций равен пределу отношения их производных (если он существует)

Доказательство: Применяя формулу Коши, получим: , где между и . Или, учитывая, что , т.к. функции и - бесконечно малые, непрерывные в точке функции, получаем . Пусть при

отношение стремится к некоторому пределу. Так как лежит между и , то при получим , а следовательно, и отношение стремится к тому же пределу. Учитывая равенство , получим: если при существует предел отношения ,то , а это и требовалось доказать. Если же окажется, что и бесконечно малые при , то правило Лопиталя применяется повторно. Иногда приходится правило Лопиталя применять несколько раз.

Пример. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

Решение: = = = = = = = =

Ответ: .

Теорема справедлива и в том случае, когда . Пусть - символ (рассуждения сохраняются и для символов ), положив , получим, что при , и поэтому если существует предел отношения функций при , то существует и предел отношения функций при и они равны. Тоже можно сказать и об отношении их производных. Функции , вблизи точки удовлетворяют условиям доказанной теоремы, поэтому на основании равенства имеем: = = , откуда получаем: .

Теорема Лопиталя

Пусть и – бесконечно,большие при x ® a функции, , т.е. . Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.

Пример 6. Вычислить

Решение: = = = = = = =0

Ответ: .

Замечания. 1) Теорему Лопиталя можно применять многократно.

2) С помощью теоремы Лопиталя раскрываются неопределенности вида: ; ; (0×¥); (¥-¥); (1^¥); (0⁰); (¥⁰).

3) Раскрытие неопределенностей вида и можно свести к рассмотренным выше случаям неопределенностей вида и .

Пусть, например, , при ( -число или один из символов: ), тогда неопределенность вида , или неопределенность вида .

Пример 7. Вычислить

Решение: = = = =0.

Ответ:

4) Неопределенности вида , , встречаются при нахождении предела функции при . Для нахождения предела такой функции при достаточно найти предел при функции . Действительно, если , то . При отыскании предела придется раскрывать неопределенность вида , которая приводится к виду или .

Для раскрытия неопределенности , , используем равенство:

(Справедливо для непрерывной и положительной функции )

Пример 8.

Решение:

1) ,

2) = = = = .

Ответ: .

Раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя, следует помнить и те способы раскрытия неопределенностей, с которыми знакомились в разделе «Введение в анализ». Например, во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной ей бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.

Пример 9. Вычислить