Контрольные вопросы к главе 2

1. Сформулируйте теорему Ролля.

2. Поясните на примерах необходимость каждого из трех условий теоремы Ролля.

3. Останется ли справедливой теорема Ролля, если не будет выполняться условие: а) ; в) -непрерывна на ?

4. Сформулируйте теорему Лагранжа. В чем состоит ее геометрический смысл?

5. Какова геометрическая интерпретация теоремы Ролля?

6. Поясните на примерах необходимость каждого из условий теоремы Лагранжа.

7.Покажите, что теорема Ролля- частный случай теоремы Лагранжа.

8. Сформулируйте условие постоянства функции, непрерывной на отрезке. В чем состоит физический смысл этой теоремы?

9. Сформулируйте теорему Коши.

10. Поясните, почему теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

11. Поясните, почему теорема Коши не применима для функций   и   на   отрезке   .

 

12. Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида    при ;      при    .

13. К раскрытию неопределенностей какого вида применимо правило Лопиталя?

 

Задачи к главе 2.

2.1. Выполняется ли теорема Ролля для функции ,   если ? При каком значении ?

2.1.

2. 2.Выполняется ли теорема Ролля для функции , если ? При каком значении ?

2.2.

2.3. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции   на  отрезке .

2.4. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции   на  отрезке .

2.5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции   на  отрезке .

2.6. Показать, что производная многочлена   имеет действительный корень в интервале .

2.6.

2.7.Для функции   назаданном отрезке  проверьте возможность применения теоремы Ролля и найдите .

2.7.

2.8. Покажите, что между корнями функции находится один корень ее производной, и найдите  (). Приведите графическую иллюстрацию.

2.8.

2.9. Для функции   на заданном отрезке  проверьте возможность применения теоремы Лагранжа; найдите  в формуле Лагранжа.

2.9.

2.10. Не находя производной функции , выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение , и указать интервалы, в которых они лежат.

2.10. Три корня, принадлежащие соответственно интервалам

2.11. В какой точке М кривой касательная параллельна хорде, проходящей через точки ?

2.11.

2.12. На дуге  кривой  найти точку , в которой касательная параллельна хорде , если .

2.12.

2.13. Написать формулу Лагранжа для функции  на отрезке .

2.14. Написать формулу Лагранжа для функции  на отрезке .

2.15. Функция обращается в нуль на концах отрезка . Убедиться в том, что производная этой функции нигде в интервале  в нуль не обращается. Объяснить, почему здесь неприменима теорема Ролля.

2.16. Доказать, что

2.17. Используя формулу Лагранжа, докажите справедливость неравенств:

          а)

 

          б)

2.18. Справедлива ли формула Коши для функций  и  на отрезке ? Какое условие теоремы Коши не выполнено для этих функций?

2.19. Написать формулу Коши для функций ,  на отрезке   и найти .

2.19.

2.20. Определите значение  в формуле Коши для функций и  на отрезке .

2.20.

2.21. Вычислить пределы: 

1)                        2)

3)                                      4)

5)                                 6)

7)                                8)

9)                        10)

11)                          12)

13)                               14)

15)                                          16)

17)                                  18)

19)                                    20)                21)                          22)      

23)                          24) .

[1] Пьер Ферма (1601 – 1665), французский юрист и математик. С 1631 г. до конца жизни работал советником парламента в Тулузе, на досуге изучал математику.

[2] Мишель Ролль (1652 – 1719), французский математик, член Парижской АН. В 23 года решил одну из неопределенных задач, которую не смог решить известный в то время математик Озанам. Ролля пригласили в Парижскую АН и он до конца жизни был платным её членом.

[3] Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813), французский математик и механик, член Берлинской АН, ПАрижской АН, почетный член Петербургской АН. Высшее образование получил в артиллерийском училище в Турции. Еще до окончания училища начал преподавать в нем математику.

[4] Огюстен Коши (1789 – 1857), французский математик, член Парижской АН. Окончил политехническую школу, школу мостов и дорог. Работал инженером путей сообщения, затем занялся научными трудами и преподаванием

[5] Лопиталь де Гийом Фрасуа (1661 – 1704), французский математик, член Парижской АН. Изучал математику под руководством Бернулли. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению «Анализ бесконечно малых» (1696). Создал курс аналитической геометрии конических сечений.