2020-08-05
224
1. Сформулируйте теорему Ролля.
2. Поясните на примерах необходимость каждого из трех условий теоремы Ролля.
3. Останется ли справедливой теорема Ролля, если не будет выполняться условие: а) 
; в) 
-непрерывна на 
?
4. Сформулируйте теорему Лагранжа. В чем состоит ее геометрический смысл?
5. Какова геометрическая интерпретация теоремы Ролля?
6. Поясните на примерах необходимость каждого из условий теоремы Лагранжа.
7.Покажите, что теорема Ролля- частный случай теоремы Лагранжа.
8. Сформулируйте условие постоянства функции, непрерывной на отрезке. В чем состоит физический смысл этой теоремы?
9. Сформулируйте теорему Коши.
10. Поясните, почему теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
11. Поясните, почему теорема Коши не применима для функций 
и 
на отрезке 
.
12. Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида 
при 
; 
при .
13. К раскрытию неопределенностей какого вида применимо правило Лопиталя?
Задачи к главе 2.
2.1. Выполняется ли теорема Ролля для функции 
, если 
? При каком значении 
?
2.1. 
2. 2.Выполняется ли теорема Ролля для функции 
, если 
? При каком значении ?
2.2. 
2.3. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 
на отрезке 
.
2.4. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 
на отрезке 
.
2.5. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции 
на отрезке 
.
2.6. Показать, что производная многочлена 
имеет действительный корень в интервале 
.
2.6. 
2.7.Для функции 
назаданном отрезке 
проверьте возможность применения теоремы Ролля и найдите .
2.7. 
2.8. Покажите, что между корнями функции 
находится один корень ее производной, и найдите (
). Приведите графическую иллюстрацию.
2.8. 
2.9. Для функции 
на заданном отрезке 
проверьте возможность применения теоремы Лагранжа; найдите в формуле Лагранжа.
2.9. 
2.10. Не находя производной функции 
, выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение 
, и указать интервалы, в которых они лежат.
2.10. Три корня, принадлежащие соответственно интервалам 
2.11. В какой точке М кривой 
касательная параллельна хорде, проходящей через точки 
?
2.11. 
2.12. На дуге 
кривой 
найти точку 
, в которой касательная параллельна хорде 
, если 
.
2.12. 
2.13. Написать формулу Лагранжа для функции 
на отрезке 
.
2.14. Написать формулу Лагранжа для функции 
на отрезке 
.
2.15. Функция 
обращается в нуль на концах отрезка . Убедиться в том, что производная этой функции нигде в интервале в нуль не обращается. Объяснить, почему здесь неприменима теорема Ролля.
2.16. Доказать, что 
2.17. Используя формулу Лагранжа, докажите справедливость неравенств:
а) 
б) 
2.18. Справедлива ли формула Коши для функций 
и 
на отрезке 
? Какое условие теоремы Коши не выполнено для этих функций?
2.19. Написать формулу Коши для функций 
, 
на отрезке 
и найти 
.
2.19. 
2.20. Определите значение в формуле Коши для функций 
и 
на отрезке 
.
2.20. 
2.21. Вычислить пределы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
.
[1] Пьер Ферма (1601 – 1665), французский юрист и математик. С 1631 г. до конца жизни работал советником парламента в Тулузе, на досуге изучал математику.
[2] Мишель Ролль (1652 – 1719), французский математик, член Парижской АН. В 23 года решил одну из неопределенных задач, которую не смог решить известный в то время математик Озанам. Ролля пригласили в Парижскую АН и он до конца жизни был платным её членом.
[3] Жозеф Луи Лагранж (1736 – 1813), французский математик и механик, член Берлинской АН, ПАрижской АН, почетный член Петербургской АН. Высшее образование получил в артиллерийском училище в Турции. Еще до окончания училища начал преподавать в нем математику.
[4] Огюстен Коши (1789 – 1857), французский математик, член Парижской АН. Окончил политехническую школу, школу мостов и дорог. Работал инженером путей сообщения, затем занялся научными трудами и преподаванием
[5] Лопиталь де Гийом Фрасуа (1661 – 1704), французский математик, член Парижской АН. Изучал математику под руководством Бернулли. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению «Анализ бесконечно малых» (1696). Создал курс аналитической геометрии конических сечений.
