Рассмотрим некоторые формулы

Многогранников

 

Вопросы темы:

Площадь поверхности и объем призмы.

Решение задач.

Площадь поверхности и объем пирамиды.

Решение задач.

Домашнее задание.

 

1. Площадь поверхности и объем призмы

1.1. Площадь поверхности призмы

Говоря о площади поверхности призмы, мы говорим о площади полной поверхности призмы.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S_полн.

Все грани призмы делятся на:

- боковые грани призмы – это параллелограммы или прямоугольники;

- основания призмы (нижнее и верхнее) – это два одинаковых многоугольника, которые и дают название призме по количеству углов или сторон (например, четырехугольная призма, треугольная призма и т.п.).

Поэтому площадь полной поверхности призмы S_полн. состоит из суммы площадей боковой поверхности S_бок и площади двух ее оснований  2S_осн.:

S_полн = S_бок + 2S_осн.

В этой формуле содержит две слагаемые величины:

1. Площадь боковой поверхности S_бок – это сумма площадей всех боковых граней.

В случае если призма прямая, имеет место

Теорема «О площади боковойповерхности

прямой призмы»:

 

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство теоремы приведем на примере прямой треугольной призмы.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая треугольная призма

Доказать: S_бок = Р_осн h.

Доказательство:

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙h + ВС∙h + СА h = (AB + ВС + CА) h = P_осн h,

где Р_осн  – периметр основания (периметр многоугольника, являющегося основанием призмы);

 

h – высота призмы, которая равна длине бокового ребра прямой призмы (h = АА₁ = ВВ₁ = СС₁).

Получаем, S_бок = Р_осн h, что и требовалось доказать.

В случае если призма наклонная, то ее боковые грани – это параллелограммы. И площадь боковой поверхности будет представлять собой сумму площадей всех параллелограммов.

 

2. Площадь двух ее оснований 2S_осн. представляет сумму площадей верхнего и нижнего оснований. То есть суммарная площадь двух многоугольников, являющихся основаниями данной призмы.

1.2. Объём призмы

Объём призмы V_пр определяется как произведение площади основания призмы S_осн на высоту призмы H по формуле:

V_пр = S_оснH

Объём наклонной призмы V_накл определяется как произведение площади перпендикулярного сечения призмы S_п на длину бокового ребра призмы L по формуле:

V_накл = S_пL

Рассмотрим Задание № 1

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 10.

Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер    AB, AC, A1B1, A1С1.

 

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

1. Отрезок MN является средней линией треугольника A1B1C1, поэтому

MN = ½ B1C1 = 2.

2. Аналогично,

KL = ½ BC = 2.

3. Так как имеем прямую призму, то MK = NL = 10.

4. Из пунктов 1 и 2 следует, что четырёхугольник MNLK является четырехугольником, в котором противоположные стороны попарно равны и параллельны.

Так как MK ∥ AA, то MK ⊥ KL и МК⊥АВС и МК⊥KL/

Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. Найдем площадь данного прямоугольника:

 

SMNLK = MN·LK = 10⋅2 = 20.

Ответ: 20

Рассмотрим Задание № 2

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равен 24 куб.ед.

Точка K — середина ребра CC1.

Найти объём пирамиды KBCD.

Решение:

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD.

CC₁  является высотой призмы ABCDA1B1C1D1 A1.

Так как K является серединой CC1, то KC = ½ CC1..

Пусть CC1 = H, тогда KC = ½ H.

Заметим также, что SBCD = ½ SABCD.

Тогда,

VKBCD = 1/3 SBCD H/2 = 1/3 ∙ ½ SАBCD ∙H/2 = 1/12 SABCD H =

= 12VABCDA1B1C1D1.

Следовательно, VKBCD = 1/12⋅24 = 2.

Ответ: 2 куб.ед.

2. Объём и площадь поверхности пирамиды

2.1. Площадь поверхности пирамиды

Поверхность пирамиды – это совокупная поверхность ее боковых граней и основания.

Из определения пирамиды следует, что ее поверхность можно разделить на боковую поверхность (боковые грани) и поверхность основания (многоугольник, лежащий в основании).

Площадь поверхности пирамиды – это совокупная площадь всех многоугольников, составляющих полную ее поверхность:

- площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей боковой поверхности и площади основания.

S_полн. = S_бок. + S_осн.,

где S_полн. – это площадь полной поверхности пирамиды;

S_бок. – этоплощадь боковой поверхности пирамиды;

S_осн. – это площадь поверхности основания пирамиды.

 

Составляющие этой формулы, в свою очередь, определяются:

1. Боковая поверхность пирамиды – это суммарная площадь всех боковых граней пирамиды.

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды определяется как сумма площадей треугольников, составляющих ее боковую поверхность.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение половины периметра основания на апофему пирамиды:

S_бок = ½ P h_a,

где S_{бок –} площадь боковой поверхности пирамиды;

p – периметр основания;

h – апофема пирамиды.

 

2. Площадь основания пирамиды – это площадь многоугольника, лежащего в ее основании.

Это может быть площадь треугольника, четырехугольника и т.д.

Рассмотрим некоторые формулы

для определения площади поверхностей усеченной пирамиды

 

CH является высотой усеченной пирамиды,

P₁ и P₂ — периметрами оснований,

S₁ и S₂ — площадями оснований,

S_бок — площадью боковой поверхности,

S_полн — площадью полной поверхности:

 

 

Зная свойства усеченной пирамиды, отметим:

1. Площади оснований усеченной пирамиды подчиняется соотношению:

S₂/S₁ = k₂.

2. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды:

3. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

или

,

где S₁, S₂ — площади оснований,

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

 

2.2. Объем пирамиды

Объём прямой пирамиды V_пир. определяется как произведение одной трети площади основания пирамиды S_осн на ее высоту H по формуле:

V_пир = S_оснH

 

Для произвольной усеченной пирамиды объем определяется по следующей формуле:

где S₁, S₂ — площади оснований,

h — высота усеченной пирамиды.