Поверхности вращения 2-ого порядка

МУХА – ЦЕКАТУХА, ЖУЖИЦА

И

ИНТЕРНЕТ

                     Сказка-поэма

ББК 84(2=411.2)6

П-501 

 

Поликанова И.В.

 

Лирическое математическое: стихотворения с комментариями и рисунками. Муха-цекатуха, Жужица и интернет: сказка-поэма. – Барнаул, 2014 –100с. с илл.

 

                              

                      

     Сборник предназначен студентам, преподавателям математических факультетов вузов и всем любителям математики и лирики.

    Курсивом в тексте выделены математические термины.

 

                   © И.В. Поликанова, 2014

 

                  Anirix1@yandex.ru

 

УЧЕНЬЕ – ОБЪЕДЕНЬЕ

 

Буковки выуживаем

Из супа с лапшой-азбукой

И слова мы кушаем

Вперемежку разные.

 

Начала геометрии

Учим по печенью.

Крекер мозаичный –

Просто объеденье.

 

Ромбы и квадратики,

Овалы, треугольники

Очень даже кстати нам,

Чтоб составить домики.

 

А ещё умею

Вкусности считать:

Раз конфета, два конфета,

Три, четыре, пять.

 

Я ученик способный,

Считать и дальше мог бы.

Но папа наложил запрет:

мол, вредно много есть конфет.

                     

         КВАДРАТНАЯ ЗМЕЯ

                    (По мотивам вьетнамской сказки)

Жил в деревне хвастунишка.

Говорить любил он лишку.

Так, бывало, разойдётся,

Что народ вокруг смеётся.

 Как-то говорит он другу:

 – Видел я в пруду гадюку:

  Десять с четвертью в длину

 И два метра в ширину.

– Ох, загнул ты, брат Фаддей.

Не бывает таких змей.

 – Хорошо, немного сбросим.

Пусть не десять – только восемь.

 – Восемь метров? Не смеши!

Сказки на ночь хороши.

 – Ну, возможно, метров пять.

 – Фантазируешь опять!

 – Три! Поверишь ли, теперь?

 – Не поверю, хоть убей!

 – Какой же несговорчивый!

Два метра в длину – точно уж!

Такая вот громадина!

На этом и поладить бы. 

    Усмехается сосед:

    – У меня претензий нет.

В мире жить с друзьями рад,

Даром, что змея – квадрат.

Всякое бывает:

Дружбе не мешает.

 

Иной политик что Фаддей:

Исполнен благостных идей,

Но быстро забывает.

Народ его прощает.

                             Пока.

Пока закон - квадрат

Ему не угрожает.

 

 

 

 

    ЦИРКУЛЬ И ЛИНЕЙКА.

                                                       Дудкину А.А.

 

Танюшка, Марфинька, Андрейка!

Знакомьтесь! Циркуль и Линейка.

Возьмите в руки их, ребята!

Служить они вам будут рады.

 

Линейка чертит нам прямые,

Вдоль следа своего скользя,

Пронзила толщи временные –

Не уважать её нельзя!

 

Окружности выводит Циркуль,

Ногою опираясь в плоскость.

Кружит, как балерина в цирке,

Дугу описывая тростью.

 

Под них Евклид писал законы,

Что постулатами нарёк.

И, «быстры разумом, Невтоны»

С них начинали свой урок.

 

И долго царствовали двое,

Являясь мерой совершенства:

Теория Евдокса прочно

Обосновала их главенство.

 

Но не бывает вечных истин,

Как не бывает вечных царств.

Отжившие слетают листья,

А в почках новые дрожат

 

И ждут мгновения пробиться

Сквозь оболочек плотных плен,

Дерзая в мире утвердиться,

Вздымают ветер перемен.

 

Теперь Компьютер верховодит.

Но он не царь – мастеровой.

В больницах, школах, на заводах,

На фермах – всюду парень свой.

 

Изобразит тебе прямую,

Окружность и бог знает что,

В 3 D поверхность нарисует

И обсчитает заодно.

 

А что же Циркуль и Линейка?

Их роль значительно важней:  

Учить Танюшек и Андреек –

Творцов невиданных вещей.

       КРИВАЯ РАЗДОРА

                                            Славскому В.В.

 

– Мы собрались, друзья,

                       чтоб обсудить,                  

достойна ли известная особа

  Кривою зваться,

                               и решить,

кому и как с ней можно знаться?

Начнём же прения, пора!

Говорит Парабола.

 

– Я дважды с ней пересекалась

и потому знакома малость.

Отмечу без утайки,

что такой зазнайки

встречать не доводилось:

                    хвалилась,

что нет её короче

между двумя точками.

Я проверять не стала…

 

– Слово госпоже Пеано.

 

– Постоянна, как пульс мертвеца,

и не видно тому конца.

Подтверждается тезис отлично:

примитивность всегда безгранична.

Кривая или, что то же самое, линия – одно из основных понятий геометрии.

В элементарной геометрии не определяется. Изучаются кривые, допускающие построение с помощью циркуля и линейки.

 

Прямая                  Ломаная            Окружность

 

В аналитической геометрии изучаются алгебраические линии – множества точек плоскости, координаты которых в некоторой аффинной системе координат являются решениями уравнения    F( x, y )= 0, где F( x, y ) – многочлен от x и y.

Невырожденные кривые 2-ого порядка и их оси симметрии:

 

  Парабола         Эллипс          Гипербола

В математическом анализе линия – график некоторой функции.

       y = c

     График постоянной функции – прямая.

          

                                                  y = sin x   

 

              Синусоида

                                                    y = tg x

 

 

       

               

         Тангенсоида

 

         

      Тут поднялся шум и гвалт

со стороны Эквидистант:

– Заявление ваше нахально.

Бесконечность её актуальна.

Постоянство – знак благородства

и должно всем служить руководством.

 

– Я тоже держу постоянный курс

и этим немало горжусь, –

взвинтилась вверх Винтовая. –

Что действительно не одобряю:

всё по нулям – кривизна и крученье,

не встрепенётся воображенье.

Только для плоскостей и годится:

может в нескольких уместиться.

 

– Я тоже бываю в гостях в плоскостях, –

смущаясь, заметил Эллипс -толстяк, –

но так утончаться не эстетично,

хотя, быть может, экономично.

А всё же она – не компактная:

в гордыне своей – не охватная.

 

– Хоть я бесконечна, как и она,

Зато полюбуйтесь: какая волна! –

Синусоида разволновалась. –

У неё лишь длина и осталась.

 

– Отсутствие форм – какая жалость!

В угоду многим так ужалась! –

Взбоченилась эпициклоида,

сердобольная Кардиоида.

 

– Выпуклой называется!

 

– Гладкостью похваляется!

 

– Гладкости её секрет

в том, что особенностей нет –

перегибов, пиков, –

Астроида пропикала.

 

– Перегибы ни к чему,

Мало перестроек нам!

Вот угла ей не хватает, –

заострила Ломаная.

 

– Заявляю громогласно:

Угол ей давать опасно –

вмиг поделит пополам

эта шустрая мадам.

Она же Биссектриса! –

Воскликнула Трактриса.

                                         

 

  

Кардиоида                             Астроида

(гр. kardia- сердце, astron- звезда, eidos- вид)

 

Кардиоида и астроида – циклоидальные кривые, описываемые точкой окружности катящейся по другой окружности: первая – извне (эпициклоида), вторая – изнутри (гипоциклоида). 

 

  Трактриса                 Декартов лист

и их асимптоты
Винтовая линия образует в каждой своей точке один и тот же угол с образующими

цилиндра,  на который она                       «намотана», – «держит постоянный курс».

 

Эквидистанта (лат. aequus равный+ distantia расстояние)

 – кривая, «сохраняющая постоянную дистанцию»:  все точки её удалены на одно и то же расстояние от заданной линии.

 

Выпуклое множество – множество, содержащее вместе с любыми своими двумя точками и соединяющий их прямолинейный отрезок.  

Плоская линия называется выпуклой, если она является границей выпуклого множества.

 

 

Прямая выпукла и как множество и как линия.

         

– Это на неё похоже.

Нас она делила тоже.

Диаметром зовёт народ, –

зазвенели струны Хорд.

 

– Превосходная актриса!

Асимптота, Директриса,

Ось симметрий, Ось вращений –

просто гений превращений!

 

Но Декартов лист прервал

хлынувший поток похвал:

– Части её подобны друг другу.

Где ещё встретишь такую скуку?

 

– Какая ложь! –

Ужаснулись Фракталы. –

Мы – сама сложность

в большом и малом,

самоподобны

и тем бесподобны.

 Данное свойство

всегда было модным.

 

–  А это бесформенное однообразие,               представьте,

 мнит себя многообразием

и уверяет, совсем не шутя,

что все безграничные ей родня.

 

– Заметьте к тому же,

                            какая пролаза!

 Сама по себе скользит,

                   словно смазанная!

 

 – Не будем об этом, –

     сказала Окружность. –

 Я это умею делать не хуже.

 Но вот чего не могу я понять,

 так нежеланье кого-то обнять.

 Я, например, обнимаю Круг.

 Он мой навечно преданный друг.

 

 – Ограниченье ведёт к умаленью

 и негуманно, по нашему мненью.

 Этим гордиться стоит едва ли, –

 развернулись пружины Спирали.

 

 Тангенсоида презрительно:

 – Архаичность её уморительна.

 Традициями повязана,

 слишком уж она связная.   

В дифференциальной геометрии линия – одномерное многообразие с краем или без края или его погружение в топологическое пространство.

Исследуются гладкие кривые, имеющие касательную в каждой точке, либо кусочно-гладкие  – объединения гладких линий. Точки «склейки» гладких кусков, в которых касательная не существует, – особые точки. У астроиды их 4 – «пики».

Спирали:

  Архимеда                   Гиперболическая

Первые попытки строгого определения линии были предприняты в 19 веке.

 По К. Жордану (1882 г.), линия – это непрерывный образ числового отрезка [a,b] (жорданова кривая).

Однако под данное определение подпадают и объекты, далёкие от привычного нам представления о линии. Например, кривая Пеано, заполняющая весь квадрат.

 

Г. Кантор (1870 г) в случае плоскости дал такое определение: линия  – это плоский континуум, в любой окрестности каждой точки которого имеются точки плоскости, не принадлежащие континууму (канторова кривая). Важный пример канторовой кривой – ковёр Серпинского –пределмножеств, получаемых последовательным удалением на каждом шаге центральных квадратов из оставшихся квадратов разбиения:

 

 

                

Непрерывность старомодна. 

То ли дело быть свободной!

Не тащить шлейф дочек-точек, 

прыгать, как захочется!

 

Старики тут возмутились:

 – Новые с орбиты сбились.

Директрису бы позвать,

сумасбродок наказать

и все точки-«изоляшки»

      в нить единую собрать!

 

Обратили взоры к той,

  что была причиной ссоры,

  их сопернице – Прямой.  

  Вмиг умолкли разговоры.

Аргумент её как бритва:

  – Прямота моя кривит вас?

Почему же все подряд

      прикоснуться норовят?

      Не потому ли,

  что достоинство любой

      заметно лишь

  в сравнении со мной?

Хотите вы того иль нет –

  другого эталона нет. 

  

           Эпилог.

 

После долгих дебатов и прений,

прикасаний, пересечений

был издан Указ такой:

Прямую считать… кривой.

За заслуги беспрецедентные

выдвинуть в президенты её,

по-научному – в Абсолют.

 А тем, кто слушал, – салют!

 

                        

 

 

В топологии наиболее общее понятие линии принадлежит советскому математику П.С. Урысону (1921 г.), определившему её как одномерный континуум.

 

Многие фракталы, сколь угодно малые структурные части которых подобны всему множеству, являются линиями в смысле данного определения. Например,   упоминавшийся выше ковёр Серпинского или дерево Пифагора.

 

 

 

           Касательная

 

Поверхности вращения 2-ого порядка

 

 

                                                                                                  

                                                                        

                                                                                       

                                                                   

                                                                               

                                     

                                                                                  

       Сфера                        Цилиндр

Круговой                 Однополостный

    конус                         гиперболоид

      МАМАША ОКРУЖНОСТЬ И ЕЁ ДЕТКА

                                              

Молвит дочурке мамаша Окружность:

– Довольно, красавица, бить баклуши.

Пора пробираться в высшие сферы.

Барьером тому – дурные манеры.

В АлтГПА надо нам поступать –

светские навыки приобретать.

Там ты освоишь законы движенья,

Чары подобия и отраженья.

Применив гомотетию,

станешь значительной

иль лилипуткою умилительной.

Замечу без ложной скромности:

не страшны нам влиянья конформности.

С инверсией надо быть осторожной:

с ней кривизну потерять несложно.

 

– Но мама, родная, я влюблена,

без душечки Круга сойду с ума!

Вдруг стану Прямой

с нулевой кривизной?

Кру г не захочет общаться со мной.

 

–Ну, зачем же такие страсти?

Учись – и избегнешь напасти.

Подумаешь, Круг – центр мирозданья!

Осмотрись! Увидишь иные созданья.

Изумительные фигуры,

все – достойные кандидатуры.

Ты бы неплохо вписалась в Квадрат,

И Треугольник тебе был бы рад.

Впрочем, это я просто к примеру.

Тебе я прочу другую карьеру.

Вращаясь среди поверхностей,

проникнешь в большие размерности,

с элитою будешь знаться,

со знатью соприкасаться.

Можешь стать основанием Конуса

или венцом Цилиндра.

Гиперболоида однополостного

избранницы участь завидна.

 

– Поверхность вращенья –

жених хоть куда.

Его обвивает Окружностей тьма!

Проведя параллели, можно сказать:

в гарем направляет «добрая» мать.

Увольте меня от таких предложений!

Мне не подходят такие вложения.

Быть лучшеединственной

                     плоскому другу,

   чем ложе делить со всею «округой».

Поверхность вращения

                      

Параллели (синие) – окружности, получающиеся в пересечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения.

 

 

 

 

Изгибание плоскости