Параметрические уравнения линии

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах

         Под линией (кривой) на плоскости понимают некоторое геометрическое место точек, т.е. множество точек, обладающих определенным свойством, исключительно им присущим.

    Уравнением линии относительно фиксированной системы координат называется такое уравнение между двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащий на данной линии.

    Уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах в общем виде записывается так:

                                                                                                         

где правая часть  означает некоторую зависимость между координатами x, y.         

    Из определения уравнения линии следует, что если при подстановке координат точки в данное уравнение получается тождество, то точка лежит на соответствующей линии, если тождество не получается, то точка не лежит на данной линии.

    Чтобы составить уравнение линии в прямоугольных декартовых координатах, необходимо:

    1)взять произвольную точку данного геометрического места с текущими координатами x и y;

    2)записать общее свойство точек данного геометрического места в виде равенства;

    3)выразить входящее в это равенство величины с помощью координат.

    Координаты точек пересечения двух линий  и  находят из системы уравнений:

                                                                                            

    Если эта система  имеет действительные решения, то линии пересекаются. Число точек пересечения равно число решений системы. Если действительных решений нет, то линии общих точек не имеют.

    Точки пересечения линии  с координатными осями Ox и Oy находят соответственно из систем уравнений:

                        и                          

                                                                                                      

Уравнение линии в полярных координатах

         Уравнение линии относительно полярной системы координат в общем виде записывается так:

                                                                                                  

где  – некоторая зависимость между полярными координатами  точек этой линии.

Параметрические уравнения линии

    Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида

                                                                                            

где x, y – прямоугольные декартовы координаты точки линии, t – некоторая переменная величина, называемая параметром.         

    Если линия задана уравнением  в полярных координатах, то ее параметрические уравнения можно записать так: