Основные сведения о логических элементах

Одним из основных понятий логики является высказывание, относительно которого можно утверждать, что оно имеет истинный или ложный смысл. В булевой алгебре (алгебре логики) отвлекаются от содержания высказываний, обозначая сами высказывания буквами x, y и др., истинность высказывания – символом 1, а ложность – символом 0. Высказывания, представленные в таком виде, являются булевыми переменными (переменными алгебры логики). Операции, выполняемые над булевыми переменными, называют логическими операциями.

Функция y = f (x₁, x₂,..., x_n) называется булевой (функцией алгебры логики), если она, как и ее аргументы x₁, x₂,..., x_n, принимает значение 1 (истина) или 0 (ложь).

Для задания булевых функций используют табличный и аналитический способы. Табличный способ основан на представлении функции таблицей истинности, в которой приводятся все наборы аргументов и каждому набору ставится в соответствие значение функции. Число наборов, которые можно получить из n аргументов, равно 2ⁿ. Аналитический способ использует представление функции в виде выражения, составленного из булевых переменных и знаков логических операций.

Логическим элементом (ЛЭ) называется электронное устройство, выполняющее логическую операцию над булевыми переменными, представленными в виде электрических сигналов.

В современных ЛЭ используют потенциальное кодирование булевых переменных, при котором они представляются низким и высоким уровнями напряжения. Если низкий уровень соответствует нулю, а высокий – единице, то такой способ кодирования называют положительной логикой, а если наоборот – отрицательной (рис. 3). В дальнейшем условимся пользоваться положительной логикой.

 

Положительная логика                          Отрицательная логика

Рис. 3. Потенциальное кодирование булевых переменных

2.1. Элемент НЕ (инвертор)

Этот элемент выполняет операцию НЕ (логическое отрицание, инверсию), которая изменяет значение булевой переменной на противоположное. Для обозначения такой операции используют горизонтальную черту над переменной.

Таблица истинности функции y = (читается «не x» или «x с отрицанием»), условное графическое обозначение (УГО) элемента НЕ и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 4.

Рис. 4. Элемент НЕ

Из определения операции НЕ вытекает закон двойного отрицания

(1)

2.2. Элемент ИЛИ (дизъюнктор)

Этот элемент выполняет операцию ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкцию). Для ее обозначения используют знаки «Ú» или «+». Значение булевой функции y= x₁ Ú x₂ Ú... Ú x_n равно нулю только при x₁ = x₂ =... = x_n = 0. В остальных случаях y = 1.

Таблица истинности функции y = x₁ Ú x₂ (читается «х₁ или х₂»), УГО элемента ИЛИ на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 5.

Рис. 5. Элемент ИЛИ

Из определения операции ИЛИ вытекают следующие тождества:

х Ú 0 = х;   х Ú 1 = 1;   х Ú х = х;   х Ú  = 1.

(2)

2.3. Элемент И (конъюнктор)

Этот элемент выполняет операцию И (логическое умножение, конъюнкцию). Для ее обозначения используют знаки «&», «Ù» или вообще не ставят знака. Значение функции y = x₁ x₂... x_n равно единице только при x₁ = x₂ =... = x_n = 1. В остальных случаях y = 0.

Таблица истинности функции y = x₁ x₂ (читается «х₁ или х₂»), УГО элемента И на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 6.

Рис. 6. Элемент И

Из определения операции И вытекают следующие тождества:

х & 0 = 0;   х & 1 = х;   х & х = х;   х &  = 0.

(3)

2.4. Элемент ИЛИ-НЕ

Этот элемент выполняет операцию ИЛИ-НЕ (стрелку Пирса «↓»). Для ее обозначения используют знак «Ú» и общую горизонтальную черту над всеми переменными (читается «или с отрицанием»). Значение функции y =  равно единице только при x₁ = x₂ =... = x_n = 0. В остальных случаях y = 0.

Таблица истинности функции y = , УГО элемента ИЛИ-НЕ на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис.7.

Рис. 7. Элемент ИЛИ-НЕ

К операции ИЛИ-НЕ применимо правило де Моргана, одна из форм представления которого имеет вид:

(4)

Взяв отрицание левой и правой частей выражения (4) и применив к левой части закон двойного отрицания, получим другое представление этого правила:

(5)

2.5. Элемент И-НЕ

Этот элемент выполняет операцию И-НЕ (штрих Шеффера «|»). Для ее обозначения используют общую горизонтальную черту над всеми переменными, а между переменными не ставят никаких знаков (читается «и с отрицанием»). Значение функции y =  равно нулю только при x₁ = x₂ =... = x_n = 1. В остальных случаях y = 1.

Таблица истинности функции y = , УГО элемента И-НЕ на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 8.

Рис. 8. Элемент И-НЕ

К операции И-НЕ также применимо правило де Моргана:

(6)

Взяв отрицание обеих частей выражения (6) и применив к левой части закон двойного отрицания, получим еще одну форму представления этого правила:

(7)

2.6. Элемент сложения по модулю 2 (М2)

Этот элемент выполняет операцию сложения по модулю 2 (исключающее ИЛИ, операцию неравнозначности). Для ее обозначения используют знак Å. Значение функции y = х₁Åх₂ равно единице только при разных значениях х₁ и х₂ (при нечетном значении суммы), а при одинаковых значениях переменных y = 0.

Операция сложения по модулю 2 отличается от операции арифметического сложения двоичных чисел тем, что при сложении не учитывается единица переноса в старший разряд:

1

1

0

Таблица истинности функции y = х₁Åх₂, УГО элемента сложения по модулю 2 на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 9.

Рис. 9. Элемент М2

2.7. Элемент сложения по модулю 2 с отрицанием (М2-НЕ)

Этот элемент выполняет операцию сложения по модулю 2 с отрицанием (операцию равнозначности, эквивалентности). Значение функции  равно нулю только при разных значениях х₁ и х₂ (при нечетном значении суммы), а при одинаковых значениях переменных y = 1.

Таблица истинности функции , УГО элемента сложения по модулю 2 с отрицанием на два входа и временные диаграммы, иллюстрирующие его работу, приведены на рис. 10.

Рис. 10. Элемент М2-НЕ

2.8. Комбинированные логические элементы

В составе серий цифровых ИС имеются также комбинированные ЛЭ, выполняющие более сложные операции, например, И-ИЛИ-НЕ (рис. 11).

DIN

 

AND-OR-INVERT

Рис. 11. Комбинированные логические элементы

В условных буквенно-цифровых обозначениях интегральных микросхем функциональное назначение ЛЭ кодируется двумя буквами (табл. 3).

 

Таблица 3 – Буквенные обозначения логических элементов

Обозначение	Вид ЛЭ	Обозначение	Вид ЛЭ
ЛИ	И	ЛР	И-ИЛИ-НЕ
ЛН	НЕ	ЛБ	И-НЕ/ИЛИ-НЕ
ЛЛ	ИЛИ	ЛК	И-ИЛИ-НЕ/И-ИЛИ
ЛА	И-НЕ	ЛМ	ИЛИ-НЕ/ИЛИ
ЛЕ	ИЛИ-НЕ	ЛД	Расширители
ЛС	И-ИЛИ	ЛП	Прочие

Одна интегральная микросхема может содержать один или несколько ЛЭ. Примеры микросхем приведены на рис. 12. В состав 133ЛН1 входит шесть элементов НЕ; К155ЛЛ1 – четыре элемента ИЛИ; 533ЛЕ4 – три элемента ИЛИ-НЕ; 555ЛИ6 – два элемента И; 530ЛА2 – один элемент И-НЕ; 1533ЛР11 – два элемента И-ИЛИ-НЕ.

 

Рис. 12. Логические интегральные микросхемы

2.9. Методика тестирования логических элементов

Работоспособность ЛЭ можно оценить, подав на его входы все комбинации сигналов низкого и высокого уровней, соответствующие всем входным наборам нулей и единиц таблицы истинности, и сравнив полученные при этом выходные сигналы с выходным столбцом таблицы истинности. Таким образом, таблица истинности является тривиальным контролирующим тестом (КТ) ЛЭ.

Для ЛЭ, имеющего n входов, длина такого КТ равна количеству наборов переменных в таблице истинности, т.е. 2ⁿ. Поэтому даже для ЛЭ с относительно небольшим количеством входов длина КТ оказывается достаточно большой.

Анализ отказов ЛЭ показывает, что практически любые неисправности типа короткого замыкания и обрыва электрических цепей могут быть сведены к отказам типа «константа 0» (наличие нуля вместо единицы во всех строках столбца экспериментальной таблицы истинности, соответствующего какой-либо входной переменной) и «константа 1» (наличие единицы вместо нуля). Следовательно, для оценки работоспособности ЛЭ достаточно подать на его входы только те наборы сигналов, которые в совокупности выявляют отказы типа «константа 0» и «константа 1» для каждого входа ЛЭ.

Для элементов ИЛИ и ИЛИ-НЕ отказы типа «константа 1» выявляет набор нулей на всех входах, а отказы типа «константа 0» – наборы вида «плавающая 1», в каждом из которых только одна единица, а остальные нули. На рис. 13 приведен пример КТ для двухвходового элемента ИЛИ.

                                          «константа 1»

 

                                          «константа 0»

 

 

Рис. 13. Контролирующий тест элемента 2ИЛИ

Если на первом наборе вместо любого из нулей внутри прямоугольника в результате неисправности окажется единица, то в столбце у вместо 0 будет 1, а если на остальных наборах вместо единицы внутри прямоугольника зафиксируется ноль, то в столбце у вместо 1 будет 0, т.е. три набора минимального КТ вместо четырех наборов таблицы истинности выявляют все отказы.

Для элементов И и И-НЕ отказы типа «константа 0» выявляет набор единиц на всех входах, а отказы типа «константа 1» – наборы вида «плавающий 0», в каждом из которых только один ноль, а остальные единицы. На рис. 14 приведен пример КТ для двухвходового элемента И.

 

                                          «константа 0»

 

                                          «константа 1»

 

Рис. 14. Контролирующий тест элемента 2ИЛИ

Если на первом наборе вместо любой из единиц внутри прямоугольника в результате неисправности окажется ноль, то в столбце у вместо 1 будет 0, а если на остальных наборах вместо нуля внутри прямоугольника зафиксируется единица, то в столбце у вместо 0 будет 1, т.е. три набора также выявляют все отказы.

Длина контролирующего теста ЛЭ с n входами, построенного по этой методике, равна n + 1.